Utilizaremos la inducción, pero antes haremos algunas observaciones.
En primer lugar, observe que para $\phi(x)=-e^{-x^2/2}\,f(x)$ se sostiene que $\phi'(x)=e^{-x^2/2}\,\big(xf(x)-f'(x)\big)$ . En particular, con $\phi_n(x)=e^{-x^2/2}H_n(x)$ tenemos $\phi_n'(x)=-\phi_{n+1}(x)$ .
En segundo lugar, es un ejercicio sencillo comprobar que $H_n$ es un monico $n$ -de grado para todos los $n$ .
Por último, es un ejercicio habitual demostrar que $\lim_{x\to\pm\infty}e^{-x^2/2}\,p(x)=0$ siempre que $p$ es un polinomio.
Ahora, pasemos a la inducción. El caso base utiliza $p=H_0$ y $q=H_1$ que debería ser bastante fácil de comprobar.
Para el paso de inducción, supongamos que para todo $j \in \{1,\dots,n\}$ y todos $i$ con $0\leq i < j$ tenemos $\langle H_i,H_j\rangle = 0$ . Demostraremos que lo mismo ocurre cuando $j=n+1$ . Tenemos:
\begin{align} \langle H_i,H_{n+1}\rangle=\int\,H_i\,H_{n+1}\,e^{-x^2/2}\,dx &= \int\,H_i\,\phi_{n+1}(x)\,dx\\ &= \int\,H_i\,\Big(-\phi_n'(x)\Big)\,dx\tag{1}\\ &= \Big[H_i\,\big(-\phi_n\big)\Big]-\int\,H_i'\,\Big(-\phi_n(x)\Big)\,dx\tag{2}\\ &= \underbrace{\Big[-H_i\phi_n\Big]}_{(*)}+\int\,H_i'\,\phi_n(x)\,dx\\ \end{align}
En $(1)$ utilizamos nuestra primera observación. En $(2)$ utilizamos la integración por partes. La componente de frontera $(*)$ es $0$ según nuestra tercera observación anterior.
En otras palabras, tenemos
$$\int\,H_i\phi_{n+1}(x)\,dx=\int\,H_i'\,\phi_n(x)\,dx$$
Podemos repetir el proceso, diferenciando en cada paso $H_i$ una vez más y reduciendo el índice de $\phi_k$ por $1$ . Desde $i<n+1$ según nuestra hipótesis de inducción, en $i$ pasos la $H_i$ El factor de la ingestión se reducirá a la constante $i!$ (aquí hemos utilizado nuestra segunda observación) y el índice sobre lo que queda de $phi_k$ será positiva. En este punto, la integral se habrá reducido a
$$i!\int\,\phi_{n+1-i}(x)\,dx= i!\int\, H_{n+1-i}(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=i!\,\langle H_{n+1-i},H_0\rangle,$$
que es $0$ según nuestra hipótesis de inducción.
Puede notar que el argumento anterior no funciona del todo cuando $i=0$ ... En este caso, sin embargo, el problema se habría resuelto antes, en la ecuación $(1)$ Aquí podríamos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y nuestra tercera observación para concluir que la integral desaparece.
