Un problema para demostrar que una determinada suma es invariante en algunas configuraciones geométricas euclidianas.

Question

$\textbf{Problem.}$ Supongamos círculos de radio $r$ y el radio $s$ son externamente tangentes en el punto $1/2$ y es internamente tangente al círculo unitario. Existen infinitas configuraciones de este tipo, una de las cuales se ilustra en el siguiente diagrama. Demuestra que $\displaystyle\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{16}{3}$ para cada una de estas configuraciones.

El problema anterior apareció en un examen de análisis complejo en alguna escuela de posgrado. He intentado varias cosas, pero nada ha funcionado todavía y no tengo mucha idea de lo que debo hacer para resolver este problema.

Una de las cosas que he intentado es simplemente establecer la configuración dada en las siguientes ecuaciones estableciendo los centros de los círculos como $p,q$ para obtener $|p-\frac{1}{2}|=r,|q-\frac{1}{2}|=s,|p|+r=|q|+s=1,r+s=|p-q|$ y para intentar algunos cálculos aleatorios pero no funcionó.

También intenté utilizar alguna transformación de Mobius pero no funcionó. Por favor, hazme saber cómo solucionar esto o si este problema está relacionado con alguna cosa conocida.

Answer 1

$(1)$ Fórmulas para $r$ y $s$ :
Véase el siguiente diagrama. Desde $|1/2-(1-r)z_0|=r$ tenemos $$ \frac{1}{4}-(1-r)\operatorname{Re}\,z_0+(1-r)^2=r^2,$$ $$ r=\frac{5-4\cdot\operatorname{Re}\,z_0}{8-4\cdot\operatorname{Re}\,z_0}.$$ De la misma manera, tenemos $$ s=\frac{5-4\cdot\operatorname{Re}\,z_1}{8-4\cdot\operatorname{Re}\,z_1}.$$

$(2)$ Consideramos una transformación general de Mobius $w=f(z)$ que mapea el disco unitario sobre sí mismo y fija el punto $\frac{1}{2}$ . Para encontrar $f$ consideramos $\varphi, \phi, g$ de la siguiente manera: \begin{align} \zeta&=\varphi (z)=\frac{2z-1}{2-z},\quad \varphi (1/2)=0, \; \varphi (1)=1,\;\varphi (-1)=-1\\ \xi&=\phi(\zeta)=e^{i\theta }\zeta,\;(\text{rotation})\\ w&=g(\xi)=\frac{2\xi+1}{\xi+2},\quad g(0)=1/2,\; g(e^{i\theta })=z_0,\;g(-e^{i\theta })=z_1. \end{align} Su composición $$ w=f(z)=g\circ \phi\circ \varphi (z)=\frac{(4e^{i\theta }-1)z+2(1-e^{i\theta })}{(4-e^{i\theta })+2(e^{i\theta }-1)z}$$ es una transformación de Mobius que estamos buscando. Véase el siguiente diagrama.

Obsérvese que ''toda configuración de este tipo'' es la imagen de los discos $|z-3/4|=1/4$ y $|z+1/4|=3/4$ por $w=f(z)$ arriba. Vemos que $$ z_0=f(1)=\frac{1+2e^{i\theta }}{2+e^{i\theta} }, \quad \operatorname{Re}\, z_0=\frac{4+5\cos \theta }{5+4\cos\theta }$$ y $$ z_1=f(-1)=\frac{1-2e^{i\theta }}{2-e^{i\theta }}, \quad\operatorname{Re}\, z_1=\frac{4-5\cos \theta }{5-4\cos\theta }. $$ Por lo tanto, tenemos $$ r=\frac{3}{8+4\cos\theta }, \quad s=\frac{3}{8-4\cos\theta },$$ que da como resultado $$ \frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{16}{3}$$ por cada $\theta $ . La prueba está completa.