$\lim_{r\to\infty}\frac{1}{r}\int_{-r}^r|f(x)|dx=0$ y la continuidad uniforme implica $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=0$ ?

Question

Sabemos que si una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es uniformemente continua y Lebeasgue integrable en $\mathbb{R}$ ( $\int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx<\infty$ ), entonces $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=0.$

Ahora, en el resultado anterior, si sustituimos la integrabilidad en $\mathbb{R}$ por la condición más débil: $$\lim_{r\to\infty}\frac{1}{r}\int_{-r}^r|f(x)|dx=0,$$ ¿todavía tenemos $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=0?$

Answer 1

No. Para $f(x)= \sin(x)$ tenemos $\int_{-r}^rf(x)dx=0$ para todos $r>0$ pero los límites $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)$ no existen.

Answer 2

No, la condición más débil no implica que $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=0$ . Contraejemplo: tomar $$f(x):= \begin{cases} 1-\left| |x|-n^2 \right| & \text{if $||x|-n^2|<1$ for some $n\in\mathbb{N}^+$} , \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$$ Entonces $f$ es u.c. en $\mathbb{R}$ , $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)$ no existe y si $n^2+1\leq r<(n+1)^2+1$ entonces $$0\leq \frac{1}{r}\int_{-r}^r|f(x)|dx\leq \frac{2}{r}\int_{0}^{(n+1)^2+1}|f(x)|dx=\frac{2(n+1)}{r}\leq \frac{2(n+1)}{n^2+1}\to 0.$$