Dos preguntas sobre discriminantes de polinomios en Q[x]

Question

Supongamos $f \in \mathbb{Q}[x]$ es monic, con raíces $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$. Definir el discriminante de $f$ a ser el número de $ \Delta = \Pi_{i<j} (\alpha_{i} - \alpha_{j})^2$. Deje $D(f) = \sqrt{\Delta} = \Pi_{i<j} (\alpha_{i} - \alpha_{j})$ ser la raíz cuadrada del discriminante. Aquí están las preguntas:

1) Vamos a $p/q \in \mathbb{Q}$ ser fijo. ¿Qué se puede decir sobre el conjunto de $\{ f \in \mathbb{Q}[x] : D(f) = p/q \}$? Por ejemplo, si fijamos $p$ a ser algunos de los mejores, entonces la familia de cuadráticas tener este primer como el discriminante son sólo traduce del polinomio $x(x-p)$ por cualquier número racional. Por supuesto, toda la familia tiene el mismo (trivial) grupo de Galois. ¿Qué se puede decir sobre el grupo de Galois de familias de polinomios de grado mayor con fijo discriminante? Los grupos de Galois será subgrupos de $A_{n}$, pero ¿hay alguna razón para esperar que cualquier "estabilidad"?

y menos curiosamente,

2) ¿Qué números racionales $p/q \in \mathbb{Q}$ tienen la propiedad de que $p/q = D(f)$ algunos $f$ como en el anterior, con el grado de $f$ fijo a ser algún número natural $n$? Por ejemplo, cada número racional es el discriminante de algunos cuadrática. Pero parece claro que no hay cúbico $f$$D(f) = 2 \times 2 \times 3$. ¿Qué se puede decir en general?

El contexto de este es que estoy tratando de generar algunas familias de polinomios que no tienen grupo de Galois $S_{n}$ y mi mente simple idea es utilizar el discriminante para 'recoger' (no sólo generar los polinomios de forma aleatoria, como el conjunto de polinomios con grupo de Galois $S_{n}$ es denso en el conjunto de todos los polinomios).

Gracias!

Answer 1

Si conecto el siguiente polinomio: 3x^3-x en la fórmula para el discriminante creo que me hacen 12. La fórmula para el discriminante de la cúbico estoy usando es:

http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

Creo que b y d son cero cancelar todos los términos, pero -4a(c^3) que es 12.

Answer 2

Kristal, sí, sí, lo siento. Hay al menos 2 errores en el post original:

• Se me olvidó mencionar que el polinomio $f$ es asumido monic
• La frase "Pero parece claro que no hay cúbicos tener discriminante $2^{2} \times 3$" debe decir "...no hay cúbicos tener $D = \sqrt{\Delta} = 2^{2} \times 3$". Puedo llegar a esta conclusión sólo mirar a las raíces como puntos de una recta y los números de $(\alpha_{i} - \alpha_{j})$ 'orientado a que las distancias entre los puntos'.

Por su ejemplo, $3x^3 - x = 3x(x^{2} - 1/3) = 3x(x - 1/\sqrt{3})(x + 1/\sqrt{3})$

de modo que $\Delta = 3^{2(3-1)} [(0 + 1/\sqrt{3})(0 - 1/\sqrt{3})(1/\sqrt{3} + 1/\sqrt{3})]^{2} = 3^{4} \dot (1/3)^{2} \dot (2/\sqrt{3})^{2} = 12$, tal como has indicado. Pero mi pregunta es acerca de la raíz cuadrada del discriminante, que es la interesante cantidad para mí, porque el grupo de Galois de $f$ es un subgrupo de $A_{n}$ si y sólo si D(f) es racional!

Parece que no puedo editar mi post original (porque no me registro para hacerlo). Muchas gracias a todos por las referencias, especialmente David Brown

Answer 3

Si usted está interesado en las familias de polinomios que no tienen grupo de Galois $S_n$ usted debe mirar Noam Elkies página web: http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html acerca de las familias de trinomios con interesantes grupos de Galois, y las referencias en la parte inferior de la página en la que se dan los punteros a los papeles sobre interesantes de otras familias.

Answer 4

Usted puede disfrutar de la lectura de Kiran Kedlaya del papel en la construcción de $A_n$ extensiones de $\mathbb{Q}$ con especificada discriminante, y siguiendo las referencias que hay en el. El punto principal de este trabajo es construir polinomios con squarefree discriminante, sujeto a varias condiciones.

Answer 5

Para irreductible cúbicas, la respuesta es proporcionada por cyclotomy: cúbico extensiones con la plaza de la discriminantes son cíclicos, por lo tanto cyclotomic. El cómputo de la posible discriminantes para reducible cúbicas parece al menos posible.

General de los polinomios, me atrevo a predecir futuros problemas. En la década de 1930, Udo Wegner trató de probar los resultados en la dirección de "si el discriminante de un polinomio irreducible se ve como el discriminante de un polinomio con grupo de Galois G, entonces debe haber un grupo de Galois G" (Creo que G es el grupo de Galois de un binomio extensiones generado por $x^n-a$), pero yo no confiaría en ninguna de sus resultados sin probar por mí mismo. Él escribió un artículo junto con Reichardt, cuyos resultados pueden ser de confianza:

• H. Reichardt, U. Wegner, Arithmetische Charakterisierung von algebraisch auflösbaren Körpern und Gleichungen von Primzahlgrad, J. Reine Angew. De matemáticas. 178 (1937), 1-10

En la segunda parte de su artículo que lidiar con la cuestión de cómo ciertos discriminante divisores puede ser utilizado para demostrar que el polinomio no es solucionable.

El contexto de tu pregunta no es clara para mí: si quieres polinomios con grupo de Galois diferente de $S_n$, usted puede tomar la cyclotomic polinomio o $f(x) = x^n-a$, pero usted sabe que. Por menos ejemplos triviales, retirar el libro

• Genérico polinomios: aspectos constructivos de la inversa de Galois problema

por Jensen, Ledet y Yui; google te llevará a una versión en línea en el msri.