Para empezar, no podemos escribir cada elemento de $G$ como una matriz ni como una exponencial. Las álgebras de Lie siempre se pueden escribir como matrices por el teorema de Ado, pero eso no es cierto para los grupos de Lie. Por supuesto, deberíamos esforzarnos por conseguir una demostración sin matrices, ya que escribir algo en términos de matrices requiere no sólo elegir una representación, sino también una base de esa representación. Tendríamos que demostrar que nuestra prueba no depende de estas elecciones e incluso entonces una prueba más directa es más limpia. Entonces el segundo punto. Incluso si nos limitamos a considerar sólo grupos de Lie conectados, el mapa exponencial (que depende del grupo de Lie de nuestra álgebra de Lie que estemos considerando y es no en general sólo la exponencial de la matriz) no será, en general, suryente a menos que, por ejemplo, el grupo sea compacto o nilpotente. En cambio, la imagen de la exponencial genera el grupo (o, más generalmente, la componente conexa de la identidad).
Los resultados a los que te refieres simplemente muestran que la derivada de un homomorfismo de grupo de Lie es un homomorfismo de álgebra de Lie $\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}$ (número 2) y que ésta es equivariante con respecto a las acciones naturales adyacentes en $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ (número 1). Así que para responder a tu primera pregunta: en realidad no es así, excepto por la representación adjunta. Utilizar matrices sería invocar la teoría de la representación. Para la segunda, no estoy seguro. Se trata de hechos algo básicos de la correspondencia álgebra de Lie-Grupo de Lie. No creo que se basen en ninguna parte demasiado técnica de la teoría de Lie, siempre que te sientas cómodo tratando con grupos/álgebras de Lie en abstracto.
