Acción de Palatini: variación de la conexión de espín: demostrar que la torsión desaparece

Question

Consideremos la acción de la tétrada-Palatini:

$$S[e,\omega] = \int e \wedge e \wedge F[\omega]^\star,$$

donde $\star$ denota el dual de Hodge, es decir $F_{IJ}^\star = \frac{1}{2} \varepsilon_{IJKL} F^{KL}$ . La 2 forma de curvatura es

${F^I}_J = {d\omega^I}_J + {\omega^I}_K \wedge {\omega^K}_J$

Utilizando esto (y el hecho de que $a \wedge b = - b \wedge a$ ), debería poder reescribir la acción como

$ S[e,\omega] = \frac{1}{2} \int e^I \wedge e^J \wedge F^{KL} \varepsilon_{IJKL} = \frac{1}{2} \int \left( F^{KL} \wedge e^I \wedge e^J \right) \varepsilon_{IJKL}$

Según mi libro de texto, una variación de esta acción con respecto a la conexión debería producir

$de^I + {\omega^I}_{J} \wedge e^J = 0$ ,

es decir, que la torsión se desvanece. He intentado demostrarlo, pero sin éxito. Si considero una variación con respecto a la conexión, obtengo:

$\delta F^{KL} = \delta (d \omega^{KL}) + \delta({\omega^K}_A \wedge \omega^{AL}) = \delta (d \omega^{KL}) + \delta {\omega^K}_A \wedge \omega^{AL} + {\omega^K}_A \wedge \delta \omega^{AL}$

Así para la variación de la acción:

$\delta S[e,\omega] = \frac{1}{2} \int \left( \left( \delta (d \omega^{KL}) + \delta {\omega^K}_A \wedge \omega^{AL} + {\omega^K}_A \wedge \delta \omega^{AL} \right) \wedge e^I \wedge e^J \right) \varepsilon_{IJKL}$

¿Cómo llego desde aquí a la desaparición de la torsión?

Answer 1

El punto clave para entender cómo funciona esto es darse cuenta de que se pueden integrar parcialmente las derivadas covariantes.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la variación de la 2 forma de curvatura puede escribirse como una derivada covariante, es decir

$$ \delta F^{IJ} = D \delta \omega^{IJ} = \mathrm{d} \delta \omega^{IJ} + \omega^I{}_K \delta \omega^{LJ} + \omega^J{}_K \delta \omega^{KJ} $$

Variación de la acción

$$S[e,\omega] = \int e^I \wedge e^J \wedge F^{KL} \varepsilon_{IJKL}$$

con respecto a $\omega^{IJ}$ entonces es

$$ \begin{align} \delta S[e,\omega] &= \int e^I \wedge e^J \wedge D \delta \omega^{KL} \varepsilon_{IJKL} \\ &= - \int D ( e^I \wedge e^J )\wedge \delta \omega^{KL} \varepsilon_{IJKL} \\ &= - 2 \int D e^I \wedge e^J \wedge \delta \omega^{KL} \varepsilon_{IJKL} \end{align} $$

Esto da la ecuación deseada $D e^I = 0$ .

Para ver por qué se puede integrar parcialmente, observe que quiere que la derivada covariante satisfaga una regla de Leibniz (graduada) $$ D ( a^I \wedge b^J ) = D a^I \wedge b^J + (-1)^{|a|} a^I \wedge D b^J $$ y además coinciden con la derivada exterior en escalares, por ejemplo $$ D (\varepsilon_{IJKL} A^{IJKL}) = \mathrm{d} (\varepsilon_{IJKL} A^{IJKL}) $$

Answer 2

La torsión no se "desvanece" sin más, no hay verdaderas razones para que la torsión desaparezca. Algunos han adoptado un enfoque de invariante gauge, lo que significa que tratas la relatividad general sólo en términos de curvatura - así que cuando la curvatura es cero, la torsión no lo es, y viceversa. Pero esto no tiene ningún sentido, ¿cuándo tendríamos torsión pero no curvatura en la realidad?

No existe ningún supuesto subyacente que explique por qué la torsión ''debe'' desaparecer. La desaparición de la torsión es injustificada, pero más sencilla.