Formas ingeniosas de hacer verificaciones molestas

Question

Hay muchas veces en matemáticas que uno necesita hacer comprobaciones que son molestas y distraen del punto principal del argumento. A menudo, hay lemas que pueden hacer esto mucho más fácil, al menos en muchos casos importantes.

Por ejemplo, en topología, puede ser bastante molesto comprobar directamente a partir de la definición que un espacio cociente concreto es lo que uno cree que es, y no otra cosa con el mismo conjunto subyacente. (De hecho, sospecho que muchos topólogos se saltan habitualmente esta comprobación.) Sin embargo, el siguiente lema puede simplificar mucho esta comprobación en muchos casos:

Lema: Si $X$ es compacto, $Y$ es Hausdorff, y $f \colon X \to Y$ es suryente, entonces $f$ es un mapa cociente.

Este lema puede hacerse más potente utilizando el hecho de que basta con mostrar que un mapa es localmente un mapa cociente.

Otra de estas dificultades es verificar que una categoría es abeliana; si se parte directamente de la definición, hay una lista fastidiosamente larga de cosas que verificar. Sin embargo, si no me equivoco, una vez que se tiene una categoría abeliana $\mathcal{A}$ , hay un número de otras categorías que están garantizadas para dar otras categorías abelianas. Entre ellas (creo) está la categoría de funtores en $\mathcal{A}$ a partir de otra categoría fija, la categoría de láminas en $\mathcal{A}$ en un (¿espacio topológico? ¿otra categoría?) (suponiendo que $\mathcal{A}$ es lo suficientemente agradable para que esto tenga sentido), y cualquier subcategoría completa de $\mathcal{A}$ que se cierra bajo 0, $\oplus$ , granos, y granos de coco. Utilizando estos en combinación, junto con el hecho de que $R$ -mod es una categoría abeliana para cada anillo $R$ Creo que se puede llegar a cada categoría abeliana utilizada en Hartshorne . (Nota: No estoy muy seguro de este ejemplo, así que si alguien quiere elaborar esto en una respuesta, se agradecería).

EDITAR: Como se señala en los comentarios más abajo, la categoría de $\mathcal{O}_X$ -módulos no es de esta forma. (Se me ocurrió este ejemplo mientras escribía la pregunta y no lo pensé demasiado). Por lo tanto, agradecería doblemente una buena respuesta que abordara específicamente la pregunta "¿Cómo se demuestra que una categoría es abeliana?"

Pregunta: ¿Cuáles son otros lemas/colecciones de lemas útiles y cómo se utilizan?

Answer 1

¿Qué le parece esta práctica (presumiblemente) común?

Supongamos que $f:M\to \mathbb{R}$ una función suave de alguna variedad $M$ (que tal vez tenga una estructura extra $S$ ) y está tratando de demostrar alguna propiedad $P$ (sobre $M$ , $S$ o $f$ ). Suponga también que su vida sería mucho más fácil si pudiera asumir que $f$ era Morse.

A menudo te ahorras mucho tedio al comprobar (con suerte) que tu resultado es "genérico". Es decir:

1) Existe una familia de funciones suaves $f_\epsilon:M\to \mathbb{R}$ con $f_0=f$ y para $\epsilon>0$ $f_\epsilon$ es Morse.

2) A continuación, puede demostrar fácilmente algunas propiedades $P_\epsilon$ (modulo que ajusta su estructura a $S_\epsilon$ ) sobre ( $M$ , $S_\epsilon$ o $f_\epsilon$ ) que tienen la propiedad adicional de implicar $P$ "dejando que $\epsilon\to 0$ ".

Por supuesto, siempre hay momentos (y hablo por experiencia personal) en los que las cosas son demasiado "especiales" para que este enfoque funcione. Entonces hay que ensuciarse las manos.

Answer 2

Para demostrar que $E\to M$ es un $G$ -(por ejemplo, en la categoría de colectores fin-dim), es necesario comprobar la trivialidad local utilizando algunas tablas en $M$ y $E$ y que las transiciones entre ellas están controladas por el grupo $G$ . Sin embargo, si tiene un director $G$ -en tus manos, puedes utilizar fácilmente la construcción de paquetes asociada para construir el espacio total y los mapas de proyección que satisfacen la propiedad del paquete dado sólo cómo $G$ actúa sobre una fibra típica abstracta.