Formas ingeniosas de hacer verificaciones molestas

Question

Hay muchas veces en matemáticas que uno necesita hacer comprobaciones que son molestas y distraen del punto principal del argumento. A menudo, hay lemas que pueden hacer esto mucho más fácil, al menos en muchos casos importantes.

Por ejemplo, en topología, puede ser bastante molesto comprobar directamente a partir de la definición que un espacio cociente concreto es lo que uno cree que es, y no otra cosa con el mismo conjunto subyacente. (De hecho, sospecho que muchos topólogos se saltan habitualmente esta comprobación.) Sin embargo, el siguiente lema puede simplificar mucho esta comprobación en muchos casos:

Lema: Si $X$ es compacto, $Y$ es Hausdorff, y $f \colon X \to Y$ es suryente, entonces $f$ es un mapa cociente.

Este lema puede hacerse más potente utilizando el hecho de que basta con mostrar que un mapa es localmente un mapa cociente.

Otra de estas dificultades es verificar que una categoría es abeliana; si se parte directamente de la definición, hay una lista fastidiosamente larga de cosas que verificar. Sin embargo, si no me equivoco, una vez que se tiene una categoría abeliana $\mathcal{A}$ , hay un número de otras categorías que están garantizadas para dar otras categorías abelianas. Entre ellas (creo) está la categoría de funtores en $\mathcal{A}$ a partir de otra categoría fija, la categoría de láminas en $\mathcal{A}$ en un (¿espacio topológico? ¿otra categoría?) (suponiendo que $\mathcal{A}$ es lo suficientemente agradable para que esto tenga sentido), y cualquier subcategoría completa de $\mathcal{A}$ que se cierra bajo 0, $\oplus$ , granos, y granos de coco. Utilizando estos en combinación, junto con el hecho de que $R$ -mod es una categoría abeliana para cada anillo $R$ Creo que se puede llegar a cada categoría abeliana utilizada en Hartshorne . (Nota: No estoy muy seguro de este ejemplo, así que si alguien quiere elaborar esto en una respuesta, se agradecería).

EDITAR: Como se señala en los comentarios más abajo, la categoría de $\mathcal{O}_X$ -módulos no es de esta forma. (Se me ocurrió este ejemplo mientras escribía la pregunta y no lo pensé demasiado). Por lo tanto, agradecería doblemente una buena respuesta que abordara específicamente la pregunta "¿Cómo se demuestra que una categoría es abeliana?"

Pregunta: ¿Cuáles son otros lemas/colecciones de lemas útiles y cómo se utilizan?

Answer 1

El teorema del valor regular o el teorema de la inmersión son elementales pero no por ello menos útiles:

Dejemos que $f \colon M \to N$ ser suave y $n \in N$ . Si $T(f)_m \colon T_m M \to T_{f(m)} N $ está en todos los $m \in f^{-1}(n)$ puis $f^{-1}(n) \subset M$ es un submanifold de dimensión $\text{dim}(N) - \text{dim}(M)$ .

Answer 2

Uno realmente elemental :

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales de la misma dimensión finita es un isomorfismo si y sólo si su núcleo es cero.

Como aplicación, me gusta la demostración de la existencia de los polinomios de interpolación de Lagrange.

Answer 3

Mi ejemplo proviene de la geometría algebraica, concretamente de la teoría de $\lambda$ -que se utilizan en la teoría K y en la teoría de la representación (y posiblemente en otros lugares que desconozco). Si se busca en Notas de clase de matemáticas 308 $\lambda$ -anillos y la teoría de la representación del grupo simétrico de Donald Knutson, en la página 27, hay un teorema que se llama, de forma bastante apropiada, el "Principio de Verificación", y se utiliza para hacer exactamente el tipo de cosas que estás preguntando. El enunciado es:

Si $\mu$ es un $\lambda$ -operación de anillo, entonces $\mu$ es únicamente un polinomio en el $\lambda$ -y para cualquier polinomio particular $f(\lambda^1,\lambda^2,\ldots , \lambda^n,\ldots)$ basta con comprobar que $\mu = f$ operando con una suma $\xi_1+\ldots + \xi_r$ de elementos de grado 1, para todo $r>0$ . Si se lee la primera parte del libro (es decir, hasta la página 27 en la que se lee esto) se aprende que esto es algo muy práctico, sobre todo teniendo en cuenta los polinomios de la función generadora que aparecen en el estudio de estos objetos y lo fácil que es comprobar las cosas que son polinomios en el $\lambda$ -operaciones (como se denominan). Esto es lo que vincula tan bien este tipo de anillo con la teoría de la representación del grupo simétrico, en particular las funciones simétricas elementales, como menciona Knutson en la página 10 de la misma publicación.

Otra técnica útil es la que aparece en el álgebra, cuando se comprueba algo para los elementos generales comprobando en una base. Por ejemplo, comprobar algo para todos los elementos de tu álgebra tensorial o exterior comprobándolo en los tensores "puros" o "completamente descomponibles" que forman un conjunto generador.

Answer 4

Un mapa suryectivo entre dos módulos (sobre un anillo conmutativo) del mismo rango es una biyección.

Answer 5

Un homomorfismo de grupo de un grupo profinito topológicamente finito a cualquier grupo profinito es continuo. (Nikolov-Segal, arxiv:math/0604399v1)