Formas ingeniosas de hacer verificaciones molestas

Question

Hay muchas veces en matemáticas que uno necesita hacer comprobaciones que son molestas y distraen del punto principal del argumento. A menudo, hay lemas que pueden hacer esto mucho más fácil, al menos en muchos casos importantes.

Por ejemplo, en topología, puede ser bastante molesto comprobar directamente a partir de la definición que un espacio cociente concreto es lo que uno cree que es, y no otra cosa con el mismo conjunto subyacente. (De hecho, sospecho que muchos topólogos se saltan habitualmente esta comprobación.) Sin embargo, el siguiente lema puede simplificar mucho esta comprobación en muchos casos:

Lema: Si $X$ es compacto, $Y$ es Hausdorff, y $f \colon X \to Y$ es suryente, entonces $f$ es un mapa cociente.

Este lema puede hacerse más potente utilizando el hecho de que basta con mostrar que un mapa es localmente un mapa cociente.

Otra de estas dificultades es verificar que una categoría es abeliana; si se parte directamente de la definición, hay una lista fastidiosamente larga de cosas que verificar. Sin embargo, si no me equivoco, una vez que se tiene una categoría abeliana $\mathcal{A}$ , hay un número de otras categorías que están garantizadas para dar otras categorías abelianas. Entre ellas (creo) está la categoría de funtores en $\mathcal{A}$ a partir de otra categoría fija, la categoría de láminas en $\mathcal{A}$ en un (¿espacio topológico? ¿otra categoría?) (suponiendo que $\mathcal{A}$ es lo suficientemente agradable para que esto tenga sentido), y cualquier subcategoría completa de $\mathcal{A}$ que se cierra bajo 0, $\oplus$ , granos, y granos de coco. Utilizando estos en combinación, junto con el hecho de que $R$ -mod es una categoría abeliana para cada anillo $R$ Creo que se puede llegar a cada categoría abeliana utilizada en Hartshorne . (Nota: No estoy muy seguro de este ejemplo, así que si alguien quiere elaborar esto en una respuesta, se agradecería).

EDITAR: Como se señala en los comentarios más abajo, la categoría de $\mathcal{O}_X$ -módulos no es de esta forma. (Se me ocurrió este ejemplo mientras escribía la pregunta y no lo pensé demasiado). Por lo tanto, agradecería doblemente una buena respuesta que abordara específicamente la pregunta "¿Cómo se demuestra que una categoría es abeliana?"

Pregunta: ¿Cuáles son otros lemas/colecciones de lemas útiles y cómo se utilizan?

Answer 1

Para demostrar que un objeto S tiene la propiedad P, primero hay que demostrar que la colección de todos los objetos que satisfacen P está cerrada bajo un montón de operaciones, demostrar que ciertos objetos muy simples tienen la propiedad P, y demostrar que S puede ser "descompuesto" o "filtrado" o de alguna manera desenroscado en estos objetos simples utilizando las operaciones mencionadas anteriormente.

Esto es una especie de inducción, y se utiliza todo el tiempo para convertir las molestas verificaciones en la comprobación de que algo es cierto por... un punto. Tal vez una abreviatura de este "método astuto" sería "pensar como Grothendieck".

Para muchos ejemplos de esto, véase cualquier prueba en Higher Topos Theory o Higher Algebra de Lurie.

Answer 2

A partir de la respuesta de Nate, otro resultado del análisis funcional (a menudo demostrado al mismo tiempo que los otros) es el Principio de Acotamiento Uniforme. Es muy útil para obtener estimaciones uniformes a partir de las puntuales... y es bastante mágico. Dice que si tenemos una colección $\mathcal{F}$ de operadores lineales continuos de un espacio de Banach a un espacio vectorial normado, entonces éstos están uniformemente acotados (es decir $\sup_{T \in \mathcal{F}} \Vert T \Vert < \infty$ ) si están acotados puntualmente (es decir, para cada $x$ tenemos $\sup_{T \in\mathcal{F}} \Vert T(x)\Vert < \infty$ ).

Answer 3

A veces, en el análisis elemental hay cosas que son un dolor de cabeza, pero al menos se puede minimizar el dolor. Por ejemplo, si se quiere demostrar que para cada $\delta > 0$ la secuencia $(1+\delta)^n$ es ilimitado, se puede utilizar el lema de que es al menos $1+n\delta$ y, en general, si se quiere demostrar que crece más rápido que cualquier potencia, se puede utilizar el lema de que es al menos $\binom n k\delta^k$ , ambas derivadas de la expansión binomial.

Otro que me gusta del análisis elemental. Supongamos que se quiere demostrar rigurosamente que $\cos(x)$ es siempre al menos $1-x^2/2$ . Puede hacerlo de la siguiente manera. Primero, $\cos(x)$ es siempre como máximo 1. Se deduce por integración que $\sin(x)$ es como máximo $x$ cuando $x$ es positivo. Y luego integrando de nuevo obtenemos el resultado para positivo $x$ y la uniformidad hace el resto. (La integral muestra que $-\cos(x)+\cos(0)$ es siempre como máximo $x^2/2$ y reordenando se demuestra la desigualdad). La iteración de este argumento da la desigualdad que se espera siempre que se trunca la expansión de Taylor.

Answer 4

Mi ejemplo quizás no es exactamente lo que tenías en mente, pero espero que eso lo haga más interesante, de ahí mi razón para publicarlo. Se me ocurrió mencionar el método (muy elemental) pero deliciosamente inteligente de demostrar la igualdad de polinomios comparándolos evaluados en un número finito de puntos (que se aplica, por ejemplo, en Una prueba en el espíritu de Zeilberger de una sorprendente identidad de Ramanujan ) pero en su lugar pensé en señalar la noción de prueba reflexiva de la teoría de tipos dependientes:

Para escribir una prueba formal (comprobable por ordenador) hay que justificar cada paso del razonamiento hasta los axiomas del fundamento. Por supuesto, eso haría que probar cosas simples como $((ab)cd)e = a(bc)(de)$ una terrible tarea que requiere repetidas aplicaciones de la asociatividad (de hecho probar algo tan simple como $1 + 100 = 101$ podría requerir $100$ aplicaciones de la definición de plus!). La idea de la reflexión es reducir los pasos de razonamiento triviales a la computación, Esto se describe en la sección 4 de la obra de Henk Barendregt Pruebas de corrección en matemáticas e industria pero también se aplicó en gran medida en una reciente prueba formal del teorema de los cuatro colores .

Answer 5

Antes de que la geometría algebraica se desarrollara lo suficiente y se demostrara el Riemann-Roch con su potencia actual, la Principio de Lefschetz se utilizó para deshacerse de muchos enunciados de la geometría algebraica.

Por ejemplo: Definir una curva elíptica sobre un campo como una curva en la forma de Weierstrass con determinante no nulo. Sobre ella definir las leyes de adición e inversa mediante el proceso de cuerda y tangente, obteniendo expresiones algebraicas. Para demostrar que la curva elíptica es un grupo, hay que demostrar que la suma es asociativa. Una forma es una verificación muy tediosa de las identidades.

Otra forma es utilizar funciones elípticas para demostrar la identidad en el caso complejo. Dado que la ley de grupo algebraica se cumple sobre los números complejos, se satisface por un número infinito de soluciones algebraicamente independientes, y por lo tanto la ley de grupo debe ser verdadera en la universalidad, sobre cualquier campo. Por supuesto, esto debe precisarse con el principio de Lefschetz.

Pero más tarde se desarrolló la geometría algebraica y fue posible demostrar afirmaciones sin basarse en el principio de Lefschetz. Por ejemplo, la ley de grupo en curva elíptica es siempre una consecuencia de la Riemann-Roch.