Formas ingeniosas de hacer verificaciones molestas

Question

Hay muchas veces en matemáticas que uno necesita hacer comprobaciones que son molestas y distraen del punto principal del argumento. A menudo, hay lemas que pueden hacer esto mucho más fácil, al menos en muchos casos importantes.

Por ejemplo, en topología, puede ser bastante molesto comprobar directamente a partir de la definición que un espacio cociente concreto es lo que uno cree que es, y no otra cosa con el mismo conjunto subyacente. (De hecho, sospecho que muchos topólogos se saltan habitualmente esta comprobación.) Sin embargo, el siguiente lema puede simplificar mucho esta comprobación en muchos casos:

Lema: Si $X$ es compacto, $Y$ es Hausdorff, y $f \colon X \to Y$ es suryente, entonces $f$ es un mapa cociente.

Este lema puede hacerse más potente utilizando el hecho de que basta con mostrar que un mapa es localmente un mapa cociente.

Otra de estas dificultades es verificar que una categoría es abeliana; si se parte directamente de la definición, hay una lista fastidiosamente larga de cosas que verificar. Sin embargo, si no me equivoco, una vez que se tiene una categoría abeliana $\mathcal{A}$ , hay un número de otras categorías que están garantizadas para dar otras categorías abelianas. Entre ellas (creo) está la categoría de funtores en $\mathcal{A}$ a partir de otra categoría fija, la categoría de láminas en $\mathcal{A}$ en un (¿espacio topológico? ¿otra categoría?) (suponiendo que $\mathcal{A}$ es lo suficientemente agradable para que esto tenga sentido), y cualquier subcategoría completa de $\mathcal{A}$ que se cierra bajo 0, $\oplus$ , granos, y granos de coco. Utilizando estos en combinación, junto con el hecho de que $R$ -mod es una categoría abeliana para cada anillo $R$ Creo que se puede llegar a cada categoría abeliana utilizada en Hartshorne . (Nota: No estoy muy seguro de este ejemplo, así que si alguien quiere elaborar esto en una respuesta, se agradecería).

EDITAR: Como se señala en los comentarios más abajo, la categoría de $\mathcal{O}_X$ -módulos no es de esta forma. (Se me ocurrió este ejemplo mientras escribía la pregunta y no lo pensé demasiado). Por lo tanto, agradecería doblemente una buena respuesta que abordara específicamente la pregunta "¿Cómo se demuestra que una categoría es abeliana?"

Pregunta: ¿Cuáles son otros lemas/colecciones de lemas útiles y cómo se utilizan?

Answer 1

En el análisis funcional, el teorema del gráfico cerrado es un buen ejemplo de ello. Si se tienen dos espacios de Banach $X,Y$ y se define algún operador lineal $A : X \to Y$ en todos los $X$ A menudo hay que comprobar que es continua. Ingenuamente se diría: "dejemos $x_n$ sea una secuencia en $X$ convergiendo a algún $x$ Tengo que demostrar (1) que $A x_n$ converge y (2) su límite es $Ax$ ." Pero el teorema del grafo cerrado afirma que cualquier operador definido en cualquier lugar entre espacios de Banach con un grafo cerrado es de hecho continuo. Un operador tiene un grafo cerrado si para cualquier secuencia $x_n$ en $X$ tal que $x_n$ y $A x_n$ convergen, se tiene $\lim A x_n = A \lim x_n$ . Así que en el argumento anterior, se puede omitir la verificación de (1) y tratarla en su lugar como una suposición.

También existe el teorema del mapeo abierto, estrechamente relacionado, que dice que una biyección lineal continua $B : X \to Y$ de los espacios de Banach es automáticamente un homeomorfismo; es decir, se puede omitir la comprobación de que $B^{-1}$ es continua. Es una reminiscencia del teorema de que cualquier biyección continua $f : K_1 \to K_2$ de espacios compactos de Hausdorff es automáticamente un homeomorfismo.

Answer 2

Las pruebas que explotan la universalidad a menudo proporcionan buenos ejemplos de formas ingeniosas de evitar los molestos casos especiales. Por ejemplo, las identidades matriciales que aparecen a continuación tienen pruebas algebraicas triviales si se procede de forma "genérica", es decir, dejando que las entradas de la matriz $a_{ij}, b_{ij}$ sean indeterminados y realizar la prueba sobre el anillo de polinomios $\mathbb Z[a_{ij}, b_{ij}]$ .

$\rm\quad\; det(I-AB) = det(I-BA)\;\:$ tomando $\;\rm det\;$ de $\;\;\rm (I-AB)\;A = A\;(I-BA)\;$ y luego cancelar $\;\rm det \:A$

$\rm\quad\quad det(adj \:A) = (det \:A)^{n-1}\quad$ tomando $\;\rm det\;$ de $\;\rm\quad A\;(adj\: A) = (det\: A) \;I\quad\;\;$ y luego cancelar $\;\rm det \:A$

Contrasta estos absolutamente triviales algebraico pruebas con las más complejas y más frecuentemente presentadas topológico pruebas mediante argumentos de densidad. Ver mi puesto [1] y sus comentarios para que se pueda debatir más a fondo.

Answer 3

• El lema de Yoneda (¡se usa en todas partes!)
• En geometría algebraica, el lugar de fuga de un mapa de haces vectoriales sobre un esquema $X$ es un subesquema cerrado de $X$ .

Voy a poner un ejemplo en el que utilizamos ambas cosas. Digamos que queremos demostrar que existe un esquema de "banderas" en un espacio vectorial $V$ y que es un subesquema cerrado del espacio proyectivo. Tal esquema de banderas $\text{Fl}_{i_1, ..., i_k}$ representa el functor que envía un esquema $S$ al conjunto de $M_1\hookrightarrow ...\hookrightarrow M_k\hookrightarrow V\otimes \mathcal{O}_S$ où $M_j$ es un haz vectorial en $S$ de rango $i_j$ y donde todos los mapas son mapas de paquetes inyectivos. Podríamos hacer esto trabajando con coordenadas, pero eso sería un gran dolor, así que vamos a utilizar nuestros lemas.

Basta con hacer esto para $k=2$ ya que los esquemas de banderas más grandes pueden escribirse como productos de fibra de $\text{Fl}_{i_1, i_2}$ . Incorporamos $\text{Fl}_{i_1, i_2}$ como un subesquema cerrado del esquema $T:=\text{Gr}(i_1, V)\times \text{Gr}(i_2, V)$ . Sabemos que se trata de un subesquema cerrado de $\mathbb{P}(\Lambda^{i_1}(V)\otimes \Lambda^{i_2}(V))$ así que esto es suficiente.

Pero, en efecto, dejar que $M_j$ sea el rango canónico $i_j$ haz de la mano sobre $\text{Gr}(i_j, V)$ (inducido por el mapa de identidad a través de la propiedad universal del Grassmanniano y de Yoneda), tenemos que el haz de banderas $\text{Fl}_{i_1, i_2}$ es el lugar de fuga del mapa $p_1^*M_1\to \text{coker}(p_2^*M_2\to V\otimes \mathcal{O}_T)$ . Es fácil comprobar que esto representa el functor deseado.

Answer 4

El método probabilístico es una buena fuente de pruebas ingeniosas de cosas que son muy difíciles de demostrar o incluso que no se sabe si son demostrables de otra manera. Por ejemplo, supongamos que nos piden que demostremos que es posible encontrar infinitos puntos en posición general en la esfera unitaria en R^d. Si se toman d-1 puntos cualesquiera, la probabilidad de que un punto aleatorio se encuentre en el subespacio que generan es cero. Por lo tanto, si eliges al azar una secuencia infinita de puntos, entonces la probabilidad de que no sea un ejemplo es cero. Pensar en un ejemplo y demostrar que funciona sería bastante tedioso.

Answer 5

A menudo se pueden calcular los exponentes de alguna identidad o desigualdad utilizando el análisis dimensional o introduciendo ejemplos clave, y esto suele ser más rápido que derivar la identidad o desigualdad minuciosamente a mano. Esto se explica con más detalle en

http://terrytao.wordpress.com/2008/12/27/tricks-wiki-use-basic-examples-to-calibrate-exponents/