Una generalización de la ecuación $n = ab + ac + bc$

Question

En un resultado que estoy estudiando actualmente (completamente ajeno a la teoría de números), tuve que examinar la resolubilidad de la ecuación $n = ab+ac+bc$ où $n,a,b,c$ son enteros positivos $0 < a < b < c.$

Como resultó fuera el conjunto de números no expresables de la forma anterior es finito.

Generalizar la ecuación a cuatro variables y comprobar las soluciones de la ecuación $n = abc+abd+acd+bcd$ para $0 < a < b < c < d$ Me he dado cuenta de que parece que existe un número $n_0$ tal que para $n > n_0$ $n$ es expresable como $abc+abd+acd+bcd.$ El hecho de que se produzca un patrón similar para cinco variables me motiva a plantear la siguiente pregunta:

Pregunta. Dado un número entero positivo $m$ ¿hay un número $n_0$ de manera que cada $n > n_0$ es expresable como $$n = x_1\cdots x_m\left(\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_m}\right)$$ où $0 < x_1 < x_2 <\ldots < x_m$ .

La pregunta es demasiado para mis (inexistentes) conocimientos de teoría de números. Tal vez hay un resultado conocido con respecto a tales ecuaciones o, puede ser de alguna manera inductivamente derivado del caso $m = 3.$ Se agradece cualquier indicación en este sentido.

Answer 1

Supongamos que la ecuación $$ n=x_1x_2\ldots x_N\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_N}\right),\tag 1 $$ donde $x_i\in\textbf{N}$ , $i=1,2,\ldots,N$

Encontraré el número de soluciones de (1) y demostraré que existe una secuencia infinita de números naturales $n$ , tal que (1) tiene siempre solución.

Escribe $$ x_1 x_2\ldots x_N=t,\tag 2 $$ entonces $$ n=\frac{t}{x_1}+\frac{t}{x_2}+\ldots+\frac{t}{x_N}.\tag 3 $$ Dado $n,t\in\textbf{N}$ el número de soluciones de (3) bajo (2) es $$ r_0(n,t)=\sum_{\begin{array}{cc} d_1|t\textrm{, }d_2|t\textrm{, } \ldots\textrm{ , }d_N|t\\ \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\ldots+\frac{1}{d_N}=\frac{n}{t}\\ d_1d_2 \ldots d_N=t \end{array}}1. $$ Como la suma es un divisor, podemos reescribirla como $$ r_0(n,t)=\sum_{\begin{array}{cc} d_1|t\textrm{, }d_2|t\textrm{, } \ldots\textrm{ , }d_N|t\\ d_1+d_2+\ldots+d_N=n\\ d_1d_2 \ldots d_N=t^{N-1} \end{array}}1.\tag 4 $$ Ahora bien, si dejamos $t$ varía en $\textbf{N}$ obtenemos de la desigualdad de Cauchy $$ \frac{d_1+d_2+\ldots +d_N}{N}\geq\sqrt[N]{d_1d_2\ldots d_N}\Leftrightarrow \frac{n}{N}\geq\sqrt[N]{t^{N-1}}\Leftrightarrow t\leq\left(\frac{n}{N}\right)^{N/(N-1)}. $$ Por lo tanto, el número de soluciones de (1) es $$ r(n)=\sum_{t=1}^{\left[\left(\frac{n}{N}\right)^{N/(N-1)}\right]}\left(\sum_{\begin{array}{cc} d_1|t\textrm{, }d_2|t\textrm{, } \ldots\textrm{ , }d_N|t\\ d_1+d_2+\ldots+d_N=n\\ d_1d_2 \ldots d_N=t^{N-1} \end{array}}1\right).\tag 5 $$ Ahora se deduce de (5) que si ocurre $d_1=d_2=\ldots=d_{N-1}=t$ entonces $d_N=1$ . Pero esto sucede si $n$ es de la forma $$ n_k=(N-1)k+1\textrm{, }k\in\textbf{N}.\tag 6 $$ Por lo tanto, cuando $n$ es de la forma (6) siempre tenemos solución.