¿Cuáles son algunos corolarios interesantes de la clasificación de los grupos simples finitos?

Question

La clasificación de los grupos simples finitos, tanto si se considera acabada como si es un trabajo en curso, es (o será) sin duda un enorme logro. Es evidente que arroja mucha luz sobre la estructura de los grupos finitos. Sin embargo, al igual que con la clasificación de las álgebras de Lie simples, cabría esperar que tuviera un impacto significativo fuera del tema inmediato. Entonces, ¿cuáles son algunas de las aplicaciones conocidas, o esperadas, de la clasificación fuera de la teoría de grupos finitos?

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NB:

• esta pregunta fue editada significativamente por otros usuarios poco después de ser publicada (2 de agosto '10). Los pocos comentarios críticos que aparecen a continuación fueron abordados antes de que la pregunta fuera editada y mejorada.

• Para quien tenga dudas sobre la prueba, véase Aschbacher's Avisos documento "El estado de la clasificación de los grupos simples finitos" y, por favor, no debatan aquí ese asunto en particular.

Answer 1

Tal vez sea difícil decir qué está estrictamente "fuera" de la teoría de grupos finitos. Sin embargo, para añadir a las respuestas de Igor, puedo sugerirte que mires el trabajo de Bob Guralnick y varios colaboradores. Entre los resultados interesantes que utilizan la clasificación está la prueba de Fried, Guralnick y Saxl en Las cubiertas de Schur y la conjetura de Carlitz de una conjetura de 1966 de Carlitz. Sea $f(x)$ sea un polinomio con coeficientes en el campo finito $\mathbb F_q$ . Entonces $f$ se llama "excepcional" si, para infinitas extensiones finitas $K$ de $\mathbb F_q$ la función inducida $f:K\to K$ es una permutación. La conjetura de Carlitz era que si $q$ es impar y $f$ es excepcional, entonces $f$ tiene el grado de impar.

También hay una gran cantidad de trabajos que afirman que la estructura, tanto como grupo abstracto como grupo de permutación, del grupo de monodromía de un recubrimiento ramificado finito de superficies de Riemann conectadas está controlada por el género de la superficie de recubrimiento. Por ejemplo, la conjetura de Guralnick-Thompson (que se ha convertido en un teorema, cuya última parte de la prueba se debe a Frohardt y Magaard, en Factores de composición y grupos de monodromía ) dice que si acotamos el género de la superficie de cobertura, podemos obtener sólo finitamente muchos grupos no alternativos y no cíclicos como factores de composición del grupo de monodromía. No creo que nadie sepa cómo demostrar resultados de esta naturaleza sin la clasificación.