¿Cuáles son algunos corolarios interesantes de la clasificación de los grupos simples finitos?

Question

La clasificación de los grupos simples finitos, tanto si se considera acabada como si es un trabajo en curso, es (o será) sin duda un enorme logro. Es evidente que arroja mucha luz sobre la estructura de los grupos finitos. Sin embargo, al igual que con la clasificación de las álgebras de Lie simples, cabría esperar que tuviera un impacto significativo fuera del tema inmediato. Entonces, ¿cuáles son algunas de las aplicaciones conocidas, o esperadas, de la clasificación fuera de la teoría de grupos finitos?

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NB:

• esta pregunta fue editada significativamente por otros usuarios poco después de ser publicada (2 de agosto '10). Los pocos comentarios críticos que aparecen a continuación fueron abordados antes de que la pregunta fuera editada y mejorada.

• Para quien tenga dudas sobre la prueba, véase Aschbacher's Avisos documento "El estado de la clasificación de los grupos simples finitos" y, por favor, no debatan aquí ese asunto en particular.

Answer 1

Citando a Graham Las respuestas de la gente 1 y 2 a otras dos preguntas:

Definición: Un polinomio $f(x)\in \mathbb C[x]$ es indecomponible si siempre que $f(x)=g(h(x))$ para los polinomios $g$ , $h$ Uno de los $g$ o $h$ es lineal.

Teorema. Sea $f, g$ sean polinomios indecomponibles no constantes sobre $\mathbb C$ . Supongamos que $f(x)−g(y)$ factores en $\mathbb C[x,y]$ . Entonces, o bien $g(x)=f(ax+b)$ para algunos $a, b \in \mathbb C$ o

$$\deg f=\deg g=7,11,13,15,21, \mbox{or } 31,$$

y cada una de estas posibilidades se da.

La prueba utiliza la clasificación de los grupos simples finitos y se debe a Fried [ "Exposición sobre una conexión aritmética-teoría de grupos a través del teorema de existencia de Riemann" , 1980, en las actas de la conferencia de Santa Cruz de 1979 sobre grupos finitos], tras la reducción del problema a un enunciado teórico de grupos/Galois por Cassels [1970]. [W. Feit, "Algunas consecuencias de la clasificación de los grupos simples finitos". 1980.]

Answer 2

Nikolov y Segal demostraron en Sobre grupos profinitos finitamente generados II, productos en grupos cuasi simples que los subgrupos de índice finito de los grupos profinitos finitamente generados son abiertos. Esto implica que la topología en un grupo de este tipo está determinada únicamente por la estructura del grupo. Utilizan la clasificación de forma crucial.

Answer 3

Pensé que esto merecía al menos una respuesta antes de ser cerrado. Como muchos de ustedes saben, Jordan demostró que un subgrupo finito subgrupo de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ contiene un subgrupo normal abeliano de índice, digamos $C(n)$ dependiendo sólo de $n$ . Se puede encontrar una prueba en Curtis y Reiner por ejemplo. En B. Weisfeiler, titulado " Versión de postclasificación del teorema de Jordan sobre grupos lineales finitos " utiliza la clasificación para agudizar el límite existente en $C(n)$ . También hay algunas extensiones a campos característicos positivos.

Answer 4

Hay todo tipo de aplicaciones de CFSG dentro del resto del álgebra. Me temo que son demasiado numerosas para enumerarlas aquí. Permítanme mencionar Lubotsky y Segal - Crecimiento de los subgrupos que personalmente me parece muy interesante, y que tiene una serie de resultados de este tipo. Por otra parte, si se lee con atención, se verá que muchas aplicaciones de la CFSG se derivan también de un resultado (más débil pero legible) de Larsen & Pink ( Subgrupos finitos de grupos algebraicos , 1998).

Permítanme dar otra respuesta. Si se estudia actualmente el mejor límite debido a Babai & Luks, sobre la complejidad de isomorfismo del grafo También verá que se basa en el CFSG, aunque de nuevo en una consecuencia de aspecto relativamente fácil. Aunque la mayoría de los expertos dirían que este problema está fuertemente relacionado con la teoría de grupos, como se ha dicho, se encuentra fuera del álgebra. Espero que encuentres este ejemplo lo suficientemente convincente.

Answer 5

Tengo algunos comentarios, pero voy a hacer de esto una respuesta debido a la longitud, y acabo de recibir una lluvia de ideas de una respuesta real de todos modos. Ahora he reescrito esto para responder más a la pregunta: cómo se une la Clasificación a otras áreas matemáticas.

• Las acciones de grupo son bastante comunes en las matemáticas. Una idea típica es demostrar que en un problema sólo hay un número finito de acciones de grupo. El teorema de Fried sobre los polinomios indescomponibles se ajusta a esto, ya que hay una acción sobre cubiertas ramificadas.

• Hay una serie de corolarios de la CFSG, que son esencialmente clasificaciones por derecho propio. El resultado anterior de Fried depende de que se clasifique un tipo de acción doblemente transitiva. Otro ejemplo, basado en Dunfield/Thurston ( Coberturas finitas de 3 manifolds aleatorios , página 45), señalan que para la órbita en cuestión en su aplicación, un resultado de Gilman ( Cocientes finitos del grupo de automorfismo de un grupo libre ) es suficiente (utilizan CFSG para afirmar que una acción de grupo finito 6-transitiva contiene $A_n$ ). Para algunos de ellos, podría ser oportuno preguntarse si se necesita toda la CFSG.

• Otro tipo de corolario es que algunos límites se reducen, debido a que ahora sabemos (por ejemplo) que todo los grupos tienen (digamos) una representación que satisface un determinado límite. La existencia de un cualitativamente Una cota diferente bajo CFSG (digamos polinómica frente a exponencial) tiene más interés que simplemente hacer los números más pequeños. Mirando el artículo de Babai y Codenotti Isomorfismo de hipergrafos de bajo rango en tiempo moderadamente exponencial para el isomorfismo de grafos, incluso señalan (Teorema 3.1) que basta con un resultado más débil.

• El trabajo de Aschbacher, seguido del libro de Kleidman y Liebeck ( La estructura de subgrupos de los grupos clásicos finitos ), sobre subgrupos máximos de grupos clásicos finitos es otra fuente. Aquí $\operatorname{SL}$ , $\operatorname{SO}$ , $\operatorname{Sp}$ y $\operatorname{SU}$ están involucrados. El teorema de Aschbacher (King tiene un estudio La estructura de subgrupos de grupos clásicos finitos en términos de configuraciones geométricas ) dice que hay 8 tipos de subgrupos (estabilizadores de: subespacios, sumas directas, extensiones, formas, campos de extensión, productos tensoriales, subcampos; normalizadores extraespeciales, más la exótica novena clase). Otro estudio (precursor de su libro) es el de Kleidman y Liebeck ( Un estudio de los subgrupos máximos de los grupos simples finitos. Geometrías y grupos ). Una vez que el grado es superior a 14, creo, las 8 clases se vuelven uniformes en su descripción (aunque los exóticos persisten). Esto se relaciona directamente con la teoría de grupos, por supuesto, pero muchas ramas matemáticas utilizan estas construcciones.

Mi ejemplo concreto fue un artículo de Bachoc y Nebe ( Rejillas extremas de mínimo $8$ relacionados con el grupo Mathieu $M_{22}$ ) que demostró que una red de 80 dimensiones con una norma mínima grande (de 8) tenía un grupo de automorfismo conocido (relacionado con $M_{22}$ ) que era maximalmente finito en $\operatorname{GL}_{80}(Z)$ . A continuación, utilizaron para demostrar que su red no era isométrica a una diferente que construyeron. De forma más general, si no hay ningún supergrupo finito común posible de los automorfismos conocidos de dos retículos, no son isométricos. Para demostrar esto se puede requerir CFSG de una u otra forma.

Estoy de acuerdo con lo expuesto en un comentario de Jim Humphries por encima de : "Pero probablemente la pregunta más interesante es dónde la clasificación tiene impacto en las matemáticas fuera de la teoría de grupos".