Ejemplo de semigrupo infinito donde $\mathcal{D} \neq \mathcal{J}$

Question

Dejemos que $S$ sea un semigrupo y tome elementos $a, b$ en $S$ . Consideremos las siguientes dos relaciones de Green

$a\mathcal{J}b \iff SaS = SbS$

$a\mathcal{D}b \iff \exists c \text{ such that } aS = cS \text{ and } Sb = Sc$

En cualquier semigrupo finito tenemos $\mathcal{D} = \mathcal{J}$ Entonces, ¿cuáles son algunos ejemplos de semigrupos infinitos en los que no son iguales?

Answer 1

En el semigrupo de matrices de la forma $\pmatrix{a & 0\\ b & 1}$ , donde $a$ y $b$ son números racionales positivos, la relación $\cal D$ es la igualdad, pero la relación $\cal J$ es la relación universal.