Para los que los módulos son todos menos uno $n$ ¿congruente (o con pocos valores posibles)?

Question

Hace poco intenté demostrar que no hay soluciones enteras a la ecuación $x^4+ 131 = 3y^4$ . Después de tropezar con algunos intentos algebraicos llegué a la conclusión de que todas las cuartas potencias (excepto, por supuesto, las potencias de los múltiplos de 5) son congruentes con $1$ (mod $5$ ). Entonces podemos escribir $x^4+ 1 = 3y^4$ (mod $5$ ), y porque $x^4$ y $y^4$ son $0$ o $1$ no hay soluciones enteras.

A pesar de ser capaz de resolverlo, no tenía ningún método más allá de aplicar a ciegas diferentes módulos hasta que uno funcionara. ¿Hay alguna forma de calcular los módulos para los que $n$ ¿los poderes no tienen más que unos pocos valores? Y más en general, ¿existe un método para saber cómo encontrar más eficientemente un módulo apropiado para resolver este tipo de ecuaciones diofánticas?

Answer 1

Por el pequeño teorema de Fermat, para cada número primo $p$ y cada número entero $x$ coprima a $p$ tenemos $$x^{p-1}\equiv1\pmod{p}.$$ Así, al considerar una ecuación diofantina con $n$ -potencias, tiene sentido considerar los primos para los que $p-1$ es un múltiplo de $n$ . O en otras palabras, primos $p\equiv1\pmod{n}$ .

Por supuesto, no hay garantía de que la reducción modulo de cualquier primo de este tipo conduzca a una contradicción (¡incluso cuando no hay soluciones integrales!), así que sigue siendo una cuestión de ensayo y error. Pero al menos esto acota un poco la búsqueda.