En la obra de Boyd y Vandenberghe Optimización convexa dicen $k+1$ puntos $v_0,\dots, v_k\in\mathbb{R}^n$ son afinadamente independiente si $v_1-v_0,\dots, v_k-v_0$ son linealmente independientes. A continuación, definen la simplex definido por $v_0,\dots, v_k$ para ser el casco convexo de estos puntos, es decir, el conjunto $C$ dado por $$C:=\operatorname{conv}\{v_0,\dots, v_k\} = \{\theta_0v_0+\cdots+ \theta_kv_k\mid \theta_i\ge 0\forall i, \sum_{i=1}^k \theta_i=1\}.$$
Afirman que la dimensión afín de $C$ es igual a $k$ que es la dimensión de $V:=\operatorname{aff}(C)-x^*$ , donde $x^*\in \operatorname{aff}(C)$ es arbitraria. (Obsérvese que $V$ es un subespacio de $\mathbb{R}^n$ y es independiente de la elección de $x^*$ .) Intentaba demostrarlo rigurosamente encontrando una base de este subespacio, pero me perdía en los detalles.
Buscando ayuda en la prueba de esto usando sólo la información aquí (es decir, no utilizar alguna definición alternativa de un simplex, a menos que se demuestre que es equivalente). Se agradecerán los detalles. No estoy seguro de si encontrar una base es demasiado difícil aquí o si hay una solución más inteligente. Tenga en cuenta que $$ \operatorname{aff}(C):=\{\gamma_0y_0+\cdots +\gamma_ly_l\mid y_0,\dots,y_l\in C,\gamma_0+\cdots\gamma_l=1\}\\ =\big\{(\gamma_0\theta_{00}+\cdots \gamma_l\theta_{l0})v_0+\cdots +(\gamma_0\theta_{0k}+\cdots \gamma_l\theta_{lk})v_k\mid \gamma_0+\cdots+\gamma_k=1, \\\theta_{ij}\ge 0\forall i,j, \sum_{j=0}^k \theta_{ij}=1\forall1\le i\le l\big\}.$$
