Cómo encontrar estos límites $\lim_{n\to\infty}\left(\sin{\frac{\ln{2}}{2}}+\sin{\frac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\frac{\ln{n}}{n}}\right)^{1/n}$

Question

Encuentra este límite $$\lim_{n\to\infty}\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{n}}{n}}\right)^{1/n}$$

Mi idea: utilizar $$x=e^{\ln{x}}$$ por lo que sólo encontramos $$\lim_{n\to \infty}\dfrac{\ln{\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{n}}{n}}\right)}}{n}$$ entonces $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln{\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{(n+1)}}{n+1}}\right)}-\ln{\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{n}}{n}}\right)}}{(n+1)-n}=\ln{\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{(n+1)}}{n+1}}\right)}-\ln{\left(\sin{\dfrac{\ln{2}}{2}}+\sin{\dfrac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\dfrac{\ln{n}}{n}}\right)}$$ entonces no puedo trabajar, gracias

Answer 1

Para $k>1$ tenemos $0<\frac{\ln k}{k}<\frac{\pi}{2}$ Así que $0<\sin\frac{\ln k}{k}<\frac{\ln k}{k}$ y $$ \sin\frac{\ln 2}{2}<\sum_{k=1}^n\sin\frac{\ln k}{k}<\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k} $$ $$ \ln\sin\frac{\ln 2}{2}<\ln\left(\sum_{k=1}^n\sin\frac{\ln k}{k}\right)<\ln\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\right) $$ $$ \frac{1}{n}\ln\sin\frac{\ln 2}{2}<\frac{1}{n}\ln\left(\sum_{k=1}^n\sin\frac{\ln k}{k}\right)<\frac{1}{n}\ln\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\right)\tag{1} $$ Claramente $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\sin\frac{\ln 2}{2}=0\tag{2} $$ Por otro lado $\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\sim\int_2^n \frac{\ln x}{x}\sim\ln\ln n$ Así que $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\ln k}{k}\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\ln\ln n=0\tag{3} $$ Desde $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ y el lema de la hamburguesa se deduce que $$ \frac{1}{n}\ln\left(\sum_{k=1}^n\sin\frac{\ln k}{k}\right)=0 $$ El resto está claro.

Answer 2

Ya que para los pequeños $x$ tenemos $\sin x = x+O(x^3)$ por suma parcial:

$$\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{\log k}{k}=O(1)+\sum_{k=1}^{n}\frac{\log k}{k}=\frac{1}{2}\log^2 n+O(1),$$ por lo que el valor del límite es simplemente $1$ .

Answer 3

Lo tenemos: $$\sin{\frac{\ln{2}}{2}}<\sin{\frac{\ln{2}}{2}}+\sin{\frac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\frac{\ln{n}}{n}}<n$$ $$\left(\sin{\frac{\ln{2}}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}<\left(\sin{\frac{\ln{2}}{2}}+\sin{\frac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\frac{\ln{n}}{n}}\right)^{\frac{1}{n}}<n^\frac{1}{n}$$ De ello se desprende que $$\lim_{n\to +\infty}\left(\sin{\frac{\ln{2}}{2}}+\sin{\frac{\ln{3}}{3}}+\cdots+\sin{\frac{\ln{n}}{n}}\right)^{1/n}=1.$$