igualdad para el radio espectral y la norma del operador en $B(X)$

Question

¡Una pequeña pregunta!

Se puede demostrar que $\rho(A)=\|A\|$ si y sólo si $\|A^n\|=\|A\|^n$ Ahora la literatura dice que para los operadores normales o para $B(X)$ (el conjunto de operadores lineales y acotados en $X$ un espacio de Banach) la igualdad se mantiene.

Está claro que para $B(X)$ , $\|T^n\| \leq \|T\|^n$ El caso es que para el inverso es donde estoy teniendo dificultades y para el operador normal tampoco puedo entenderlo.

Gracias.

Answer 1

Si te refieres a $\|A^n\| = \|A\|^n$ en $B(X)$ eso no es cierto. Por ejemplo, en un espacio de Banach bidimensional dejemos $A$ sea el operador correspondiente a la matriz $\pmatrix{0 & 1\cr 0 & 0\cr}$ . Entonces $A^2 = 0$ así que $\|A^2\| < \|A\|^2$ .

EDIT: También hay que tener en cuenta que $\rho(A) = 0 < \|A\|$ .

Para los operadores normales, utilice el Teorema Espectral.