Cómo determinar si una función es sobreyectiva rápidamente

Question

Sé cómo determinar si una función es suryectiva, pero lleva mucho tiempo y no siempre es correcto. Entonces, ¿hay algún truco?

Por ejemplo:

f : $\Bbb N$ x $\Bbb N$ $\Bbb N$ , $f(a,b) = \left(\dfrac{ab(a+b)}{2}\right)$ ¿una sobreproyección?

No creo que sea surjetivo porque nunca podemos obtener 2.

Answer 1

No sólo $2$ pero cualquier número primo mayor que $3$ no puede ser alcanzado. Esto se debe a que queremos $$ab(a+b) = 2p$$ Esto significa que $a \vert 2p$ . Por lo tanto, $a=1$ o $a=2$ o $a=p$ . Si $a=1$ necesitaríamos $$b(b+1) = 2p$$ No es posible para ningún primo $p>3$ . Si $a=2$ necesitamos $$b(b+2) = p$$ lo que claramente no es posible y por último si $a=p$ necesitamos $b(b+p) = 2$ lo que, de nuevo, es claramente imposible.

Answer 2

Aunque $f$ no es una suryección (como otros han respondido) si se trata como una función sobre los números naturales, aquí hay algunos trucos para demostrar que $f$ es una suryección si se trata como una función sobre los reales, $f: \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}.$

Considere la posibilidad de fijar una de las coordenadas de entrada y vea lo que hace la función resultante.

Por ejemplo, dejemos que $a=2$ entonces $f(2, b)= 2b+b^2$ . Se trata de un polinomio que tiene un mínimo en $f'(b)=0$ es decir, $0= 2+2b \rightarrow b=-1$ . En $b=-1$ , $f(2,-1)= -1$ . Este polinomio tiene el rango $(-1, \infty)$ . Así que acabamos de demostrar que la función original $f$ golpea $(-1, \infty)$ .

Ahora dejemos que $a=-2$ entonces $f(-2,b)= 2b-b^2$ . Puedes ver que este polinomio se asoma en algún lugar por encima de $0$ y su gama incluye $(-\infty, 0)$ .

Así que, juntando los dos casos, podemos ver que sí, $f$ es suryente.

Se pueden utilizar trucos similares de restricción de entradas para otras funciones. Espero que esto ayude.

Answer 3

Supongamos que $f: A \to B$ es una función. $f$ se dice que es sobreyectiva si dado un punto $b \in B$ entonces siempre podemos encontrar un punto $a \in A$ tal que $f(a) = b$ . Así que, en otras palabras, su tarea es encontrar un elemento en $A$ .

Otra forma de demostrar la subjetividad es mostrar que $Im f = B$ . De hecho, su función no es suryectiva ya que $Im f \subset \mathbb{N}$

Answer 4

¿hay trucos?

¿Es la monotonicidad un truco? El numerador de la rs es monótonamente creciente tanto en a como en b.