¿Cómo puedo completar la prueba de demostrar la $\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } =1 } $

Question

$$\lim _{ x\rightarrow \infty }{ \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } =1 } $$

Prueba: Sea $\epsilon > 0$

Entonces, $$ \left| \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } -1 \right| <\epsilon $$

$$\Longleftrightarrow \left| \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } -\frac { (x+1)^{ 2 } }{ (x+1)^{ 2 } } \right| <\epsilon $$

$$\Longleftrightarrow \left| \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } -\frac { x^{ 2 }+2x+1 }{ (x+1)^{ 2 } } \right| <\epsilon $$

$$\Longleftrightarrow \left| \frac { -2x }{ (x+1)^{ 2 } } \right| <\epsilon $$

$$\Longleftrightarrow \left| \frac { -2 }{ x^{ 3 }+2x^{ 2 }+x } \right| <\epsilon $$

$$\Longleftrightarrow \frac { 2 }{ \left| x^{ 3 }+2x^{ 2 }+x \right| } <\epsilon $$

Ahora, calcularemos el límite inferior de $x$ para forzar $ \left| \frac { x^{ 2 }+1 }{ (x+1)^{ 2 } } -1 \right| <\epsilon $ para mantener la verdad.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x>0$ entonces obtenemos..: $$\frac { 2 }{ x^{ 3 }+2x^{ 2 }+x } <\epsilon $$

$$\Longrightarrow 2<\epsilon (x^{ 3 }+2x^{ 2 }+x)$$

$$\Longrightarrow 2<\epsilon x^{ 3 }+\epsilon 2x^{ 2 }+\epsilon x$$

En este punto me quedo atascado. ¿Cómo puedo seguir adelante? No encuentro la manera de manipular esto para ponerlo en la forma $x>...$ Una pista en la dirección correcta sería beneficiosa.

Answer 1

Dado $\epsilon > 0$ queremos encontrar un $M$ tal que $x > M \Rightarrow | \cdots | < \epsilon$ .

Recuerda que sólo tienes que encontrar un $M$ de la vida como puedas y no te preocupes por encontrar un precio bajo. $M$ .

De ahí que simplifique y escriba para todos $x > 0$ ,

$$ \left| \frac{x^2+1}{(x+1)^2} -1 \right| = \left| \frac { -2x }{ (x+1)^{ 2 } } \right| \leq \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$$

Por lo tanto, dado $\epsilon > 0$ , elija $M = 2/\epsilon$ (que es positivo).

Entonces

$$x > M \ \Rightarrow \ x > \frac 2\epsilon \ \Rightarrow \ \frac 2x < \epsilon \ \Rightarrow \ \left| \frac{x^2+1}{(x+1)^2} -1 \right| < \frac 2x <\epsilon$$

---

Añadido (respuesta a la pregunta en los comentarios):

Tenemos para todos los positivos $x$ ,

$$\left| \frac{x^2+1}{(x+1)^2} -1 \right| < \frac 2x .$$

Por lo tanto, dado $\epsilon > 0$ si podemos encontrar un $M > 0$ tal que

$$x > M \quad \Rightarrow \quad \frac 2x < \epsilon$$

esto implica

$$x > M \quad \Rightarrow \quad \left| \frac{x^2+1}{(x+1)^2} -1 \right| < \epsilon .$$

Ahora bien, la delimitación $\frac 2x$ por $\epsilon$ es sencillo:

$$\frac 2x < \epsilon \quad\text{ iff }\quad x > \frac 2\epsilon$$

De ahí la elección de $M = 2/\epsilon$ hace el truco.

Answer 2

Reescríbalo como $$ \lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}} =1 $$ Para $x>0$ el denominador es $>1$ y no es restrictivo asumirlo.

La desigualdad a resolver se convierte entonces en $$ \left|-\frac{2}{x}\right|< \varepsilon\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right) $$ que ciertamente se satisface si $$ \frac{2}{x}<\varepsilon $$ por lo que para $$ x>\frac{2}{\varepsilon} $$