$f(x)=x^2-[x^2]$ es continua?

Question

$f(x)=x^2-[x^2]$ es continua? Si no es así, digamos que tiene puntos de ruptura de primer orden o de segundo orden.

¿Podemos decir porque $x^2$ es continua $[x^2]$ no es que $f(x)$ no es continua?

$[x]$ es $floor$ función.

Answer 1

$f(x)=x^2-\lfloor x^2 \rfloor$ por supuesto no es continua - considere, por ejemplo $x=\pm 1$ . En general, $\pm \sqrt{n}$ son puntos de ruptura de "salto".

Cuando $f$ es continua y $g$ no, entonces $\phi=f\pm g$ no puede ser continua, porque si lo es, entonces también se convierte en continua $g=\phi -f$ , lo que contradice la suposición.

Answer 2

$f(x)=x^2-[x^2]=\{x^2\}$ , donde $\{\}$ es la función de la parte fraccionaria.
$f$ no es continua en ningún punto del tipo $\pm\sqrt n$ , donde $n\in \mathbb N$ . Aunque $f$ es continua en $x=0$ .
En puntos $x=\pm \sqrt n, g(x)=[x^2]$ es discontinuo pero $h(x)=x^2$ es continua en $x=\pm \sqrt n$ por lo que si $f(x)$ es continua, entonces también lo es $g(x)=h(x)-f(x)$ , lo cual es una contradicción.

Answer 3

Bueno, juega cuando $x$ es un poco menos y un poco más de un número entero.

$x^2 -[x^2]\approx 0$ si $x =n + \delta$ para una muy pequeña $\delta > 0$ .

Es decir, si $x = n + \delta$ entonces $x^2 - [x^2] = (n+\delta)^2 - [(n+\delta)^2] =n^2 + 2\delta n + \delta^2 -[n^2 + 2\delta n + \delta^2] = (n^2+2\delta n + \delta^2) - n^2 = 2\delta n + \delta^2\approx 0$

Pero si $x = n -\delta$ para una muy pequeña $\delta > 0$ entonces

$x^2 = n^2 - 2n\delta +\delta^2 < n^2$ (suponiendo que $\delta$ es lo suficientemente pequeño y $x \ne 0$ así que $[x^2] = [n^2 - 2n\delta + \delta^2] = n^2 -1$ .

Así que $x^2 -[x^2] = -2\delta + \delta^2 + 1 \approx 0$ .

O más formalmente $\lim_{x\to n+\in \mathbb Z; n\ne 0} x^2 -[x^2] = 0$ pero $\lim_{x\to n-\in \mathbb Z; n\ne 0} x^2 -[x^2] = 1$ .

Podemos ver que también tendremos lo mismo si $x$ está cerca de una raíz cuadrada de un número entero (que no sea $0$ ).

Answer 4

$$f(x)=x^2-[x^2] \implies f(n)=0$$ $$\implies f(n^{+})=\lim_{h \to 0} f(n+h)=\lim_{h \to 0}(n+h)^2-[(n+h)^2]$$ $$=\lim_{h \to 0} (n^2+h^2+2nh-[n^2+2nh+h^2])=\lim_{h \to 0}(n^2+h^2+2nh-n^2)=0$$ Siguiente, $$f(n^-)=\lim_{h \to 0} (n-h)^2-[(n-h)^2]=\lim_{h\to 0} n^2-2nh+h^2-[n^2-2nh+h^2]=\lim_{h \to 0} n^2-2nh+h^2-n^2+1=1$$ Como $f(n^+) \ne f(n^-)$ , $f(x)$ es discontinua en cada número entero.