Cómo demostrar esta sencilla afirmación: $\max\{a,b\}=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|)$

Question

Intento demostrar esta afirmación.

para cualquier $a,b \in \mathbb{R}$ , $$\max\{a,b\}=\frac{1}{2}\big(a+b+|a-b|\big)$$ y $$\min\{a,b\}=\frac{1}{2}\big(a+b-|a-b|\big)$$

Me estoy comiendo a mí mismo sin saber por dónde y cómo empezar. Por cualquier orientación estaré agradecido en toneladas

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a = \max(a, b)$ y $b=\min(a, b)$ ya que ambas expresiones son simétricas.

Así que desde $a \geq b$ tenemos $a-b \geq 0$ Por lo tanto $a-b=|a-b|$ y así $\dfrac{a+b+|a-b|}{2} = \dfrac{a+b+a-b}{2}=a=\max(a, b)$ .

Del mismo modo, tenemos $\dfrac{a+b-|a-b|}{2}=\dfrac{a+b-(a-b)}{2} = b=\min(a, b)$ .

Answer 2

¿Cuál es la definición de $\max\{a,b\}$ ? Pista: se trata de dos casos posibles.

Para cada uno de estos casos, comprueba que el lado derecho da la misma respuesta. Trabajo realizado.

Repetir para $\min\{a,b\}$ .