¿Calcular la Matriz de Rotación para alinear el Vector A con el Vector B en 3d?

Question

Tengo un triángulo en el espacio 3d que estoy rastreando en una simulación. Entre los pasos de tiempo tengo la normalidad anterior del triángulo y la normalidad actual del triángulo junto con las posiciones de vértice actual y anterior de los triángulos.

Usando las normales del plano triangular me gustaría determinar una matriz de rotación que alineara las normales de los triángulos, poniendo así los dos triángulos paralelos entre sí. Luego me gustaría usar una matriz de traslación para mapear lo anterior sobre lo actual, sin embargo esta no es mi principal preocupación en este momento.

He encontrado este sitio web http://forums.cgsociety.org/archive/index.php/t-741227.html que dice que debo

• determinar el producto cruzado de estos dos vectores (para determinar un eje de rotación)
• determinar el producto del punto (para encontrar el ángulo de rotación)
• construir el cuaternario (no estoy seguro de lo que esto significa)
• la matriz de transformación es el cuaternario como un 3 por 3 ( no estoy seguro)

Cualquier ayuda sobre cómo puedo resolver este problema sería apreciada.

Answer 1

Supongamos que se quiere encontrar una matriz de rotación $R$ que gira el vector unitario $a$ en el vector unitario $b$ .

Proceda de la siguiente manera:

Dejemos que $v = a \times b$

Dejemos que $s = \|v\|$ (seno del ángulo)

Dejemos que $c = a \cdot b$ (coseno del ángulo)

Entonces la matriz de rotación R viene dada por: $$R = I + [v]_{\times} + [v]_{\times}^2{1-c \over s^2},$$

donde $[v]_{\times}$ es la matriz de producto cruzado sesgado-simétrico de $v$ , $$[v]_{\times} \stackrel{\rm def}{=} \begin{bmatrix} \,\,0 & \!-v_3 & \,\,\,v_2\\ \,\,\,v_3 & 0 & \!-v_1\\ \!-v_2 & \,\,v_1 &\,\,0 \end{bmatrix}.$$

Answer 2

Utilizando Respuesta de Kjetil respuesta, con proceso91 El comentario de la Sra. G., nos lleva al siguiente procedimiento.

Derivación

Nos dan dos vectores columna unitarios, $A$ y $B$ ( $\|A\|=1$ y $\|B\|=1$ ). El $\|\circ\|$ denota la norma L-2 de $\circ$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la rotación de $A$ a $B$ es sólo una rotación 2D en un plano con la normal $A \times B$ . Una rotación 2D por un ángulo $\theta$ viene dada por la siguiente matriz aumentada: $$G=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Por supuesto que no queremos computa cualquier función trigonométrica. Dados nuestros vectores unitarios, observamos que $\cos\theta=A\cdot B$ y $\sin\theta=||A\times B||$ . Así, $$G=\begin{pmatrix} A\cdot B & -\|A\times B\| & 0 \\ \|A\times B\| & A\cdot B & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

Esta matriz representa la rotación desde $A$ a $B$ en la base formada por los siguientes vectores columna:

1. normalizado proyección vectorial de $B$ en $A$ : $$u={(A\cdot B)A \over \|(A\cdot B)A\|}=A$$

2. normalizado rechazo del vector de $B$ en $A$ : $$v={B-(A\cdot B)A \over \|B- (A\cdot B)A\|}$$

3. el producto cruzado de $B$ y $A$ : $$w=B \times A$$

Esos vectores son todos ortogonales y normales, y forman una base ortonormal. Este es el detalle que Kjetil había pasado por alto en su responder .

La matriz de cambio de base para esta base es: $$F=\begin{pmatrix}u & v & w \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A & {B-(A\cdot B)A \over \|B- (A\cdot B)A\|} & B \times A\end{pmatrix}^{-1}$$

Así, en la base original, la rotación de $A$ a $B$ puede expresarse como una multiplicación por la derecha de un vector por la siguiente matriz: $$U=F^{-1}G F.$$

Se puede demostrar fácilmente que $U A = B$ y que $\|U\|_2=1$ . También, $U$ es el mismo que el $R$ matriz de La respuesta de Rik .

Caso 2D

Para el caso 2D, dado $A=\left(x_1,y_1,0\right)$ y $B=\left(x_2,y_2,0\right)$ la matriz $G$ es la propia matriz de transformación hacia delante, y podemos simplificarla aún más. Observamos que $$\begin{aligned} \cos\theta &= A\cdot B = x_1x_2+y_1y_2 \\ \sin\theta &= \| A\times B\| = x_1y_2-x_2y_1 \end{aligned}$$

Finalmente, $$U\equiv G=\begin{pmatrix} x_1x_2+y_1y_2 & -(x_1y_2-x_2y_1) \\ x_1y_2-x_2y_1 & x_1x_2+y_1y_2 \end{pmatrix}$$ y $$U^{-1}\equiv G^{-1}=\begin{pmatrix} x_1x_2+y_1y_2 & x_1y_2-x_2y_1 \\ -(x_1y_2-x_2y_1) & x_1x_2+y_1y_2 \end{pmatrix}$$

Implementación de Octave/Matlab

La aplicación básica es muy sencilla. Se podría mejorar factorizando las expresiones comunes de dot(A,B) y cross(B,A) . También hay que tener en cuenta que $||A\times B||=||B\times A||$ .

GG = @(A,B) [ dot(A,B) -norm(cross(A,B)) 0;\
              norm(cross(A,B)) dot(A,B)  0;\
              0              0           1];

FFi = @(A,B) [ A (B-dot(A,B)*A)/norm(B-dot(A,B)*A) cross(B,A) ];

UU = @(Fi,G) Fi*G*inv(Fi);

Pruebas:

> a=[1 0 0]'; b=[0 1 0]';
> U = UU(FFi(a,b), GG(a,b));
> norm(U) % is it length-preserving?
ans = 1
> norm(b-U*a) % does it rotate a onto b?
ans = 0
> U
U =

   0  -1   0
   1   0   0
   0   0   1

Ahora con vectores aleatorios:

> vu = @(v) v/norm(v);
> ru = @() vu(rand(3,1));
> a = ru()
a =

   0.043477
   0.036412
   0.998391
> b = ru()
b =

   0.60958
   0.73540
   0.29597
> U = UU(FFi(a,b), GG(a,b));
> norm(U)
ans =  1
> norm(b-U*a)
ans =    2.2888e-16
> U
U =

   0.73680  -0.32931   0.59049
  -0.30976   0.61190   0.72776
  -0.60098  -0.71912   0.34884

Aplicación de la respuesta de Rik

Es un poco más eficiente computacionalmente utilizar Rik's respuesta. Esta es también una implementación de Octave/MatLab.

ssc = @(v) [0 -v(3) v(2); v(3) 0 -v(1); -v(2) v(1) 0]
RU = @(A,B) eye(3) + ssc(cross(A,B)) + \
     ssc(cross(A,B))^2*(1-dot(A,B))/(norm(cross(A,B))^2)

Los resultados producidos son los mismos que los anteriores, con errores numéricos ligeramente menores ya que se realizan menos operaciones.

Answer 3

En la parte superior de mi cabeza (hacer la comprobación usted mismo) Que los vectores dados en $R^3$ sea $A$ y $B$ para simplificar se supone que tienen norma 1, y se supone que no son idénticas. Definir $C$ como el producto cruzado de $A$ y $B$ . Queremos una matriz ortogonal $U$ tal que $UA=B$ y $UC=C$ . Primero cambiar las bases, a la nueva base $(U_1,u_2,u_3)=(A,B,C)$ . En esta nueva base la matriz que hace el trabajo es simplemente $G=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$ . Entonces necesitamos la matriz de desplazamiento de la base, a la nueva base. Escriba las coordenadas de los vectores en la base antigua simplemente como $A=(a_1,a_2,a_3), B=(b_1,b_2,b_3), C=(c_1,c_2,c_3)$ . Entonces la matriz de desplazamiento de base puede verse como $\left( \begin{smallmatrix} a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{smallmatrix}\right)^{-1}$ . El resultado es ahora simplemente $U=F^{-1} G F$ que es una matriz ortogonal que gira $A$ en $B$ .

Answer 4

Utilice Fórmula de rotación de Rodrigues (Véase el apartado "Conversión a matriz de rotación"). $\cos\theta$ es el producto punto de los vectores iniciales normalizados y $\sin\theta$ se puede determinar a partir de $\sin^2\theta + \cos^2\theta =1$

Answer 5

El cuaternión es un número complejo de 4 dimensiones: http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion utilizado para describir las rotaciones en el espacio. Un cuaternión (como un número complejo) tiene una representación polar que implica el exponencial de los argumentos (rotaciones), y un multiplicador magnético. La construcción del cuaternión viene del producto cruzado (el producto de los componentes complejos), que te dará el argumento en esas 3 dimensiones, entonces obtendrás un número de eso en la forma A+Bi+Cj+Dk, y lo escribirás en la forma de matriz descrita en el artículo allí.

Una manera más fácil sería simplemente averiguar cuáles son tus vectores originales en el espacio 4, y tomar las operaciones inversas apropiadas para obtener tu cuaternión resultante (sin pasar por los pasos del producto punto/cruz) pero eso requiere una buena base en álgebra hipercompleja.