Mostrar $z e^{\lambda-z}-1$ tiene una sola raíz real en el disco unitario.

Question

$z e^{\lambda-z}-1$ tiene una sola raíz real en el disco unitario para todos los reales $\lambda >1$

Usando el cálculo, demostré que hay una raíz, pero no veo cómo usar el teorema de Rouche. He intentado dividir y sumar las diferentes partes pero no me lleva a ninguna parte. Apreciaría mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $f(z)=ze^\lambda-e^z$ que, como señala la pista de Daniel Fischer, tiene los mismos ceros que su función. Dejemos que $g(z)=ze^\lambda$ . Entonces $$|f(z)-g(z)|=e^z<|e^{\lambda-z}|+|e^\lambda|=|f(z)|+|g(z)|$$ se mantiene en el límite del círculo unitario. Por lo tanto, $f(z)$ su función, y $g(z)$ todos tienen el mismo número de ceros complejos dentro del círculo unitario. $ze^\lambda$ tiene claramente un solo cero en esta región.

Ya que has demostrado que hay al menos una real dentro del círculo unitario, se deduce que hay exactamente una, ya que toda raíz real es una raíz compleja.