valor extremo de $\frac{a+bt}{(1+t^2)^{\frac{1}{2}} + 1}$

Question

Supongamos que a, b son constantes, $t\in \mathcal{R}$ ¿Cuál es el valor de $\sup\frac{a+bt}{(1+t^2)^{\frac{1}{2}} + 1}$

Answer 1

Para encontrar $\sup_{t\in\mathbb{R}} f(t)$ con $f(x)=\frac{a+bt}{(1+t^2)^{\frac{1}{2}} + 1}$ debe considerar el derivado $$f'(t)=\frac{b(\sqrt{t^2+1}+1)-at}{(1+\sqrt{t^2+1})^2\sqrt{t^2+1}}.$$ Si la ecuación $b(\sqrt{t^2+1}+1)=at$ tiene una solución, esta es $t_0=\frac{2ab}{a^2-b^2}$ .

Obsérvese que dicho punto estacionario $t_0$ existe si $|b|<|a|$ (por lo demás $f$ es monótona en $\mathbb{R}$ ).

Ahora debemos comprobar también lo que ocurre en el infinito: $\lim_{t\to\pm\infty}f(t)=\pm b$ .

Por lo tanto, $\sup_{t\in\mathbb{R}} f(t)=\max\{|b|,f(t_0)\}$ (no considere $f(t_0)$ cuando $a=b$ ).

Answer 2

Aquí está la derivada, intenta ponerla igual a cero y resolver:

$\frac{b\sqrt{t^2+1}-at+b}{(1+\sqrt{t^2+1})^2\sqrt{t^2+1}}$

Debe dar $2ab/(a^2-b^2)$

Ahora considera el signo de la derivada, que está determinado por el signo del numerador, por lo que es fácil ver que es un máximo global.