Ejemplo de un par que no se aniquila débilmente

Question

Dejemos que $\mathcal F$ denota la transformada de Fourier $\mathcal{F} :L^2(\mathbb R)\rightarrow L^2(\mathbb R)$ y $E, \Sigma$ sean dos conjuntos medibles en $\mathbb R$ .

La pareja $(E,\Sigma)$ se llama par débilmente aniquilante, si para cualquier $f \in L^2(\mathbb{R})$ , $support (f) \subseteq E$ , $support(\mathcal F f)\subseteq \Sigma$ implica $f \equiv 0$ .

La pareja $(E,\Sigma)$ se llama par fuertemente aniquilante, si existe una constante $C$ tal que para cualquier $f \in L^2(\mathbb{R})$ ,

$$\|f\|_2^2 \leq C \left(\int_{\mathbb R \setminus E} |f|^2 dx + \int_{\mathbb R \setminus \Sigma} |\mathcal F f|^2 d\xi \right).$$ La noción de par aniquilador surge en el estudio de la propiedad de incertidumbre en el Análisis de Fourier. Por ejemplo, el teorema de Benedicks dice que si $E$ , $\Sigma$ son ambos conjuntos de medidas finitas, entonces forman un par débilmente aniquilante, mientras que el Teorema de Amrein y Berthier dice que forman un par fuertemente aniquilante.

Estoy buscando ejemplos de

1) Un par débilmente aniquilador que es $\underline{not}$ un par fuertemente aniquilador. (Willie Wong ya ha respondido a esto y me doy cuenta de que era bastante fácil y debería haber sido capaz de resolverlo yo mismo, así que mis disculpas).

1') Conjuntos $E$ , $\Sigma$ ambos tienen una medida infinita tal que $(E,\Sigma)$ es un par fuertemente aniquilador.

2) Conjuntos $E$ , $\Sigma$ tal que $E^c$ y $\Sigma^c$ tienen una medida distinta de cero y $(E,\Sigma)$ es $\underline{not}$ un par débilmente aniquilador.

Me doy cuenta de que la referencia estándar para este tema es el libro de Havin y Jöricke, del que desgraciadamente nuestra biblioteca no dispone de un ejemplar. ¿Hay alguna referencia alternativa que alguien pueda sugerir?

Gracias.

Answer 1

Creo que lo siguiente puede funcionar para (1).

Dejemos que $E$ sea el intervalo $[-1,1]$ y $\Sigma$ sea el conjunto $\mathbb{R}\setminus [-1,1]$ . Si $f$ tiene soporte compacto, su transformada de Fourier puede extenderse analíticamente a $\mathbb{C}$ y, por lo tanto, si $\mathcal{F}f$ desaparece en cualquier intervalo ( $\mathbb{R}\setminus \Sigma$ ), $f$ debe ser idéntico a 0. Así que $E,\Sigma$ forman un par débilmente aniquilante.

Consideremos ahora una función impar Schwarz arbitraria $g$ (para que $g(x) = - g(-x)$ ) con $L^2$ norma 1. Escribe $\hat{g}$ para su transformada de Fourier. Consideremos la familia $g_\lambda(x) = \lambda^{1/2} g(\lambda x)$ . Está claro que $g_\lambda$ está en $L^2$ y que como $\lambda\to\infty$ tenemos $\int_{E^c} g_\lambda^2 dx \to 0$ .

Se comprueba fácilmente que $\hat{g_\lambda}(\xi) = \frac{1}{\lambda^{1/2}}\hat{g}(\frac\xi\lambda)$ . Estimamos que $\int_{-1}^1 \hat{g}_\lambda^2 d\xi$ por $$2 \sup_{\Sigma^c} \hat{g}_\lambda^2 = \frac{2}{\lambda^{1/2}} \sup_{(-\lambda^{-1},\lambda^{-1})} \hat{g}$$ que utilizando ese $\hat{g}(0) = 0$ y sus derivadas están uniformemente acotadas, da que como $\lambda\to\infty$ la integral $\int_{\Sigma^c}\hat{g_\lambda}^2d\xi\to 0$ también.

Combinando tenemos que no puede haber una constante $C$ para que se cumpla la "condición de aniquilación fuerte".

Answer 2

1') Como se ha dicho antes, $\epsilon$ -Los conjuntos finos no necesitan tener una medida finita, por ejemplo, si $E=F = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}}[n-\frac{1}{200|n|},n+\frac{1}{200|n|}]$ entonces $(E,F)$ es fuertemente aniquilante.

2) Toma $E = F = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} [n-\frac{1}{3},n+\frac{1}{3}]$ . Sus complementos son claramente de medida infinita, sin embargo, observe que utilizando la suma de Poission $\widehat{\sum\limits_{n} \delta_n} = \sum\limits_{n} \delta_n$ y convolucionando y multpilando por una función de soporte compacto $\varphi$ con un soporte suficientemente pequeño, se obtiene un contraejemplo de aniquilación débil.