Un problema integral definido

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua, y $\int_0^1 f(1-x^2) dx=\sqrt{3}$ . Encuentre $\int_0^2xf(2x-x^2)dx$ .

He probado esto: Deje que $x=t+1$ entonces $$\int_0^2xf(2x-x^2)dx = \int_{-1}^1 (t+1)f(1-t^2) dt$$ . También, $\int_{-1}^1f(1-x^2) dx = 2\int_{0}^1f(1-x^2) dx $ .

Pero no sé qué hacer a continuación. Tanto la sustitución como la integración por partes no parecen funcionar...

Answer 1

$\int_{-1}^1 (t+1)f(1-t^2) dt=\underbrace{\require{cancel}\cancelto{0}{\int_{-1}^1 tf(1-t^2) dt}}_\text{integrand is an odd function}+\int_{-1}^1 f(1-t^2) dt=2\sqrt3$

Answer 2

$\int_{-1}^1 tf(1-t^2)dt+2\int_0^1f(1-t^2)dt=0+2\sqrt 3$ . [Deja $g(t)=tf(1-t^2)$ . Entonces $g(-t)=-g(t)$ ].