Conjunto definible sin parámetros

Question

¿Puede alguien ayudarme a resolver el siguiente problema?

Supongamos que $T$ es un conjunto de sentencias y que existe un $\mathcal{N} = (N,J)$ tal que $\mathcal{N} \vDash T$ et $N$ es infinito. Demuestre que existe un $\mathcal{M} = (M,I)$ y un elemento $a \in M$ tal que $M \vDash T$ et $a$ no es definible en $\mathcal{M}$ sin parámetros.

La idea que tenía era la siguiente: Arreglar $a \in N$ . Si $a$ no es definible en $\mathcal{N}$ sin parámetros, entonces hemos terminado ( $M = N$ ). Si no es el caso, entonces dejemos que $M = N \cup \{z\}$ , donde $z$ va a ser un elemento que va a "reflejar" el comportamiento de $a$ es decir, cualquier predicado $a$ se satisface, $z$ va a satisfacerlo también, pero no estoy seguro. Por favor, ¡cualquier pista sería genial!

Answer 1

Dejemos que $\kappa$ sea la cardinalidad del lenguaje utilizado en la teoría $T$ . Entonces, el número de elementos en los modelos de $T$ está limitada por $\kappa$ como cada $\emptyset$ -es definible mediante una fórmula (sin parámetros) de $L$ .

Por el teorema ascendente de Löwenheim-Skolem, ya que $T$ tiene infinitos modelos, hay un modelo $(M,I)$ de $T$ de cardinalidad $|M|= \kappa^+>\kappa$ y por el principio de encasillamiento, $M$ debe contener elementos que no pueden definirse mediante una fórmula sin parámetros.

También se puede argumentar por compactación de la siguiente manera: supongamos que $\{\phi_i(y):i<\lambda\}$ es una enumeración de todas las fórmulas del lenguaje $L$ que sean coherentes con $T$ y elementos definidos sin parámetros. Es decir, para cada $\phi_i(y)$ el conjunto de fórmulas $T\cup \{\exists y(\phi_i(y)\wedge \forall z (\phi_i(z)\rightarrow z=y))\}$ es consistente.

Dejemos que $L'=L\cup \{c\}$ sea una extensión de $L$ por un nuevo símbolo constante, y considerar el $L'$ -teoría $$\Gamma=T\cup \{\neg \phi_i(c):i<\lambda\}$$

Desde $T$ tiene infinitos modelos, es fácil demostrar que $\Gamma$ es finitamente satisfacible. Por lo tanto, por compacidad, existe un $L'$ -estructura $M$ satisfaciendo $\Gamma$ . En particular, $M$ es un modelo de $T$ y por construcción el elemento $a=c^M$ (la interpretación de la constante $c$ en $M$ ) será un elemento no definible sin parámetros en el lenguaje $L$ .