¿Cuándo podemos intercambiar límites y sumas?

Question

Espero encontrar mucha información para el caso cuando podamos decir:

$$\lim_{a \to 1}{ \sum_{k=b}^c{f(a,k)} } = \sum_{k=b}^c{ \lim_{a \to 1}f(a,k) }$$

...o, más generalmente, cuando $a$ se acerca a algún valor de ambas partes.

Así que, esencialmente, ¿cuándo podemos intercambiar límites y sumas?

Answer 1

Si sólo tienes un número finito de sumandos, entonces lo anterior es cierto si lo lees de esta manera: Suponiendo que todos los límites en el lado derecho existen, entonces el límite en el lado izquierdo también existe, y esta igualdad se mantiene. Se puede derivar por inducción utilizando el resultado de la suma de dos funciones: Probar que los límites de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites

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Si te interesa también una cuestión similar para (contablemente) infinitos sumandos, puedes encontrar algunos posts en este sitio que lo discuten, por ejemplo, Intercambio de suma de límites o ¿Bajo qué condición podemos intercambiar el orden de un límite y una suma?