Demuestre que la función exponencial mapea cualquier línea que pasa por el origen en un círculo de radio 1 en $\mathbb{S}^3$ .

Question

Demuestre que la función exponencial mapea cualquier línea que pase por el origen en $\mathbb{R}i +\mathbb{R}j + \mathbb{R}k$ en un círculo de radio $1$ en $\mathbb{S}^3$ .

Sé que para cualquier elemento v $\in\mathbb{R}i +\mathbb{R}j + \mathbb{R}k$ podemos escribir $v = \theta u$ , donde $u$ es un vector unitario en $\mathbb{R}i +\mathbb{R}j + \mathbb{R}k$ et $\theta$ es cualquier número real.

Entonces $e^{\theta u} = cos\theta + usin\theta\in S^3$ (es decir, podemos mapear cualquier cuaternión imaginario puro en $S^3 = SU(2)$ Así que la función exponencial mapea $\mathbb{R}i +\mathbb{R}j + \mathbb{R}k$ en $S^3$

¿Qué es una línea que atraviesa $O$ en $\mathbb{R}i +\mathbb{R}j + \mathbb{R}k$ ? ¿Qué es un círculo de radio $1$ en $\mathbb{S}^3$ ?

Answer 1

Si $u$ es un elemento de norma unitaria en $\mathbb{R}i+\mathbb{R}j+\mathbb{R}k$ entonces los elementos $1$ et $u$ forman una base ortonormal para el plano que abarcan. Por lo tanto, el mapa exponencial que escribiste por definición da la circunferencia unitaria en este plano. Una recta que pasa por el origen es simplemente la recta abarcada por $u$ .