Entonces, estuve estudiando las funciones de green y en general entendí que si tengo un operador $\mathscr{O}$ que actúa de una función $h_1(\vec{r})$ tal que $$\mathscr{O}h_1(\vec{r})=h_2(\vec{r})$$ Entonces todo lo que tengo que hacer es encontrar la función, $g(\vec{r})$ sobre el que actúa el operador para obtener la función delta.
Entonces puedo escribir, $$h_1(\vec{r})=\int h_2(\vec{\tau})g(\vec{\tau}-\vec{r})\mathrm{d}^3\vec{\tau}$$
La razón es $$\mathscr{O}h_1(\vec{r})=\mathscr{O}\int h_2(\vec{\tau})g(\vec{\tau}-\vec{r})\mathrm{d}^3\vec{\tau}=\int h_2(\vec{\tau})\delta(\vec{\tau}-\vec{r})\mathrm{d}^3\vec{\tau}$$ Hasta aquí todo bien, pero luego en un esfuerzo por resolver la ecuación de Poisson, escribe $$V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int \frac{\rho(\vec{\tau})}{\epsilon}\frac{1}{|\vec{\tau}-\vec{r}|}\mathrm{d}^3\vec{\tau} $$ Porque (y estoy calculando de nuevo) $$-\nabla ^2\left(\frac{1}{4\pi|\vec{r}|}\right)=\delta(\vec{r}).$$ Soy incapaz de entender este movimiento. ¿Hay alguna base matemática para esto o sólo para equiparar la noción preconcebida de potencial de las cargas puntuales se mantiene esta ecuación?
