Probar Y = X dado $Y = E[X|\mathscr{G}] $ y $EY^2 = EX^2$

Question

Demuestra que Y = X, dadas $Y = E[X|\mathscr{G}]$ y $EY^2 = EX^2$

Intento:

Supongamos que $Y = E[X|\mathscr{G}]$. Entonces $E[X|\mathscr{G}]$ es $\mathscr{G}$-medible. Para todo A $\in \mathscr{G}$:

$\int_A Y dP = \int_A E[X|\mathscr{G}] dP = \int_A X dP$

Dado que Y es $\mathscr{G}$-medible y $\int_A Y dP = \int_A X dP$, entonces Y = X.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Dado que tus funciones están en $L^2$ con la norma $Z^2 := E(Z^2)$, la expectativa condicional es la proyección ortogonal sobre $L^2(\mathcal{G})$. Es decir, $Y$ es ortogonal a $X-Y.

Por ortogonalidad (es decir, el teorema de Pitágoras), $X^2 = X-Y^2 + Y^2$. Por lo tanto $$ Y - X^2 = X^2 - Y^2 = 0$$ Así que $Y=X$.

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La parte esencial de lo anterior es la ortogonalidad: en lugar de recurrir a la teoría del espacio de Hilbert, podemos demostrar $EY(X-Y) = 0$ directamente: \begin{align} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} E(YX) = E(E[X|\G] \ X) &= E\left(E\big(\color{blue}{E[X|\G]} \ X\left|\G\big)\right.\right) && \text{(Ley de la Torre i.e. $EZ = EE[Z|\G]$)} \\ &= E\left(\color{blue}{E[X|\G]}E\big( X\left|\G\big)\right.\right) && \text{($\color{blue}{E[X|\G]}$ es medible respecto a $\G$)}\\ & = E(E[X|\G]^2)\\ & =:E(Y^2) && \text{(Definición de $Y$)} \end{align} Por lo tanto $$E(X-Y)^2 = EX^2 + EY^2 - 2EXY = EX^2 - EY^2 - 2EY(X-Y) = EX^2 - EY^2 = 0$$ Así que $Y=X$ de nuevo.