¿existen límites útiles para los coeficientes "gamma" (generalización de los coeficientes multinomiales)?

Question

Dejemos que $a_1,\ldots,a_n$ sea un conjunto de $n$ números positivos.

¿Se conocen los límites inferiores y superiores de:

$\displaystyle\frac{\prod_{i} \Gamma(a_i)}{\Gamma(\sum_i a_i)}$

donde $\Gamma$ es la función Gamma (una generalización de la distribución factorial)?

Answer 1

Puedes usar la aproximación de Stirling. Considerando el coeficiente multinomial en $a_i$ en lugar de lo que has escrito, y poniendo $p_i = a_i/\sum_i a_i$ se debería obtener que el logaritmo del coeficiente multinomial es $$(1+o(1))(\sum_i a_i) H(p_1,\ldots,p_n),$$ donde $H(\cdots)$ es la función de entropía: $$H(p_1,\ldots,p_n) = -\sum_i p_i \log p_i.$$