$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ si $ad = cb$, cómo comprender intuitivamente esto?

Question

Esto funciona si se multiplican ambos lados con $bd$ y cancelar la cuenta de las cosas... Pero, ¿cómo funciona?

Cuando la miro, nunca me imagino que algo así como que es válida sin tener que recurrir a lo establecido reglas de la aritmética.

Tal vez esto es una tontería de pregunta, debe ser analizado en forma o simplemente aceptado a partir de la media aritmética de las reglas? Ya, esa es la razón por la que la humanidad ha desarrollado las matemáticas. Para simplificar y abstraer las cosas que de otro modo quedarían fuera del alcance de nuestra mente.

Sólo un ejemplo sencillo, así que, por favor... me corrigieron. Gracias!

Answer 1

Sería una imagen de ayuda?

Tenga en cuenta que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ por semejanza de triángulos. El azul y el verde rectángulo tiene de área $ad$, mientras que el verde y el amarillo rectángulo tiene de área $bc$. Estos son iguales, es decir, la fracción de $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ de la zona de la gran rectángulo.

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Se reduce a poner las dos fracciones sobre el común denominador $\rm\:b\:d\:,\:$ o, de manera equivalente, el cambio de la "unidad" de la medición en la regla de $1$ $\rm\:1/(b\:d)\:.$

En el nuevo gobernante $\rm\ \dfrac{1}b\ $ tiene una medida de $\rm\ d\ $ desde $\rm\ \dfrac{1}b\: =\ d\:\dfrac{1}{b\:d}\ $ por lo tanto $\rm\ a\:\dfrac{1}b\ $ tiene una medida de $\rm\ a\:d\:.$

Del mismo modo $\rm\ c\dfrac{1}d\ $ tiene una medida de $\rm\:c\:b\:.$

De forma análoga, puede utilizar esta regla para comparar las fracciones cuyo denominador se divide $\rm\:b\:d\:.$

Answer 3

Si $\frac{a}{b}$ representa "la solución de la ecuación de $bx=a$", diciendo que $\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$ significa que cualquier solución a $bx=a$ es una solución a $dy=c$, y vice-versa. Así que si $x$ es una solución a $bx=a$, luego multiplicando por $d$ tenemos $ad = dbx = b(dx)$. Pero desde $x$ es también una solución a $dy=c$, lo que significa que $dx=c$, lo $ad=b(dx) = bc$.

Así que si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,$ad=bc$.

Por el contrario, si $ad=bc$, e $x$ es una solución a $bx=a$, entonces también es una solución a $dbx = da=bc$. Desde $b\neq 0$, $dbx = bc$ si y sólo si $dx=c$, lo $x$ es una solución a $bx=a$ si y sólo si es una solución a $cy=d$.

En resumen, las ecuaciones $bx=a$$cy=d$, $a,b,c,d$ enteros, $b$ $d$ cero, tienen la misma solución si y sólo si $ad=bc$. Así que si $\frac{r}{s}$ para los números enteros $r,s$, $s\neq 0$, representa "la solución a $sx=r$", luego de los enteros $a,b,c,d$, $b\neq 0$, $d\neq 0$, $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\text{ if and only if }ad=bc.$$

Answer 4

<------a------> <--d-->
<---b---> <-----c----->
         ^     ^
         | a-b |
         | c-d |  

Que es a+d=b+c <-> a-b=c-d. A continuación, suponga que este había dibujado en regla logarítmica; por lo tanto, sustituir "+" de "*" y "-" para "/"

Answer 5

Últimamente, he estado pensando en ello de esta manera:

Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ $ \frac{c}{d} $ debe ser igual a $\frac{ka}{kb} $. Su relación es la misma si y sólo si $a$ $b$ son escaladas por una constante $k$.

Por lo tanto, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ puede ser reescrita como $\frac{a}{b} = \frac{ka}{kb} $.

Si la constante de $k$ es el mismo, que es la condición de la igualdad, podemos cancelar simplemente se fuera, que nos dejará con $\frac{a}{b} = \frac{a}{b} $ lo cual es evidentemente cierto.

Si no queremos cancelar la constante $k$, podemos probar la $ad = bc$ método. Pasemos $kb$ $b$ a los otros lados de la ecuación:

$akb = kab$ -> $akb = akb$

que dice que si la constante en el numerador y el denominador es diferente, la igualdad de falla. Es también una manera de ver esto?