Demostración de una identidad por inducción

Question

Estoy conjeturando que $$\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}\frac{(-1)^j}{j\theta+1}=\frac{k!\theta^k}{\prod_{i=1}^k(i\theta+1)} \quad (1)$$ donde $\theta>0$ y $k\in\mathbb N^*$ .

He comprobado que funciona para $k\in\{1,2,3,4\}$ . Pero me cuesta demostrar que funciona para $k+1$ de la hipótesis inductiva $(1)$ . Utilicé el La regla de Pascal pero no tuvo éxito.

Hace $(1)$ ¿se mantiene? ¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

En primer lugar, $\frac{1}{j\theta+1}=\int_0^1x^{j\theta}dx$ reescribe el LHS como $\int_0^1(1-x^\theta)^kdx$ por el teorema del binomio. Si estás familiarizado con las funciones Beta y Gamma, esto es $\tfrac{1}{\theta}\operatorname{B}(\tfrac{1}{\theta},\,k+1)=\frac{k!\Gamma(1+\tfrac{1}{\theta})}{\Gamma(k+1+\tfrac{1}{\theta})}$ . Ahora usa $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ para demostrar por inducción que es igual a su RHS.

Answer 2

Al tratar de evaluar

$$S_k(\theta) = \sum_{j=0}^k {k\choose j} \frac{(-1)^j}{j\theta+1}$$

donde $\theta\gt 0$ introducimos

$$f(z) = \frac{k!\times (-1)^k}{z\theta+1} \prod_{q=0}^k \frac{1}{z-q}.$$

Esto tiene polos en $0,1,\ldots k$ y $-1/\theta.$ Con $\theta\gt 0$ no hay superposición con los polos en los enteros porque estos son no son negativos y $-1/\theta \lt 0.$

Obsérvese que con $0\le j\le k$

$$\mathrm{Res}_{z=j} f(z) = \frac{k!\times (-1)^k}{j\theta+1} \prod_{q=0}^{j-1} \frac{1}{j-q} \prod_{q=j+1}^k \frac{1}{j-q} \\ = \frac{k!\times (-1)^k}{j\theta+1} \frac{1}{j!} \frac{(-1)^{k-j}}{(k-j)!} = {k\choose j} \frac{(-1)^j}{j\theta+1}.$$

De ello se desprende que

$$S_k(\theta) = \sum_{j=0}^k \mathrm{Res}_{z=j} f(z).$$

Ahora los residuos suman cero y el residuo en el infinito es cero por inspección. Obtenemos

$$S_k(\theta) = - \mathrm{Res}_{z=-1/\theta} f(z) = - \frac{1}{\theta} \mathrm{Res}_{z=-1/\theta} \frac{k!\times (-1)^k}{z+1/\theta} \prod_{q=0}^k \frac{1}{z-q} \\ = - \frac{1}{\theta} k! (-1)^k \prod_{q=0}^k \frac{1}{-1/\theta - q} = \frac{1}{\theta} k! \prod_{q=0}^k \frac{1}{1/\theta + q} \\ = \frac{k!\times \theta^k}{\prod_{q=0}^k (1+q\theta)}.$$

Este es el reclamo.