Encuentra los generadores mónicos de los ideales

Question

Dejemos que $T$ sea el operador lineal sobre $F^4$ representado en la base estándar por $$\begin{bmatrix}c & 0 & 0 & 0 \\ 1 & c & 0 & 0 \\ 0 & 1 & c &0 \\ 0 & 0 & 1 & c \end{bmatrix}.$$ Dejemos que $W$ sea el espacio nulo de $T-cI$ .

a) Demostrar que $W$ es el subespacio abarcado por $\epsilon_4$ .

b) Encuentra los generadores mónicos de los ideales $S(\epsilon_4;W),\,S(\epsilon_3;W),\,S(\epsilon_2;W)$ y $S(\epsilon_1;W)$ .

La primera parte es fácil. Es trivial ver que $T-cI$ envía vectores de la forma $(0,0,0,d)$ a $0$ , de tal manera que el espacio nulo está abarcado por $\epsilon_4=(0,0,0,1)$ . Sin embargo, no tengo ni idea de cómo empezar la segunda parte. Tengo problemas para entender lo que significa $S(\epsilon_i;W)$ . Se agradecería cualquier ayuda.

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No estoy muy seguro de esta parte...

Los valores propios de la matriz son sólo $c=0$ . Por lo tanto, el espacio de los eigenes está abarcado por $\epsilon_4$ .

Answer 1

Supongo que, para un determinado $T:V\to V$ y $W\le V$ el conjunto $S(v,W)$ se define como $$S(v,W)\ :=\ \{f\in F[x]:f(T)v\in W\}$$ Ahora este es un ideal del anillo polinómico $F[x]$ , si $\ W$ es un $T$ -subespacio invariable, porque entonces $f(T)v\in W\implies T(f(T)v)\in W$

lo que significa $f\in S(v,W)\implies x\cdot f\in S(v,W)$ Así que a su vez, $x^n\cdot f\in S(v,W)$ y por sus combinaciones lineales llegamos a $g\cdot f\in S(v,W)$ para cualquier $g\in F[x]$ .

En nuestro caso, $W$ es el eigespacio de $T$ para el valor propio $c$ Por lo tanto, es $T$ -invariante.

Desde $F[x]$ es un dominio ideal principal, como ideal, $S(v,W)$ es generado por un único polinomio. La palabra "mónico" significa únicamente que el coeficiente principal es $1$ lo cual no es un gran problema, ya que $F$ es un campo.

Encontrando $S(e_4,W)$ es fácil: ya $f(x)=1$ satisface $Ie_4\in W$ .

Vamos a conseguir $S(e_3,W)=(x-c)\ $ porque $(T-cI)e_3\in W$ pero ningún polinomio constante lo satisface.

Para la parte a) También hay que demostrar que ningún vector $v\notin W$ hace $(T-cI)v=0$ .