Para todos $x \in \Bbb R$ , si $x > 4$ entonces $x^2 > 9$

Question

¿Puedo decir que $x > 4 \Rightarrow x^2 > 16$ y como $16$ es mayor que $9$ ¿Es cierto?

Answer 1

Sí, por supuesto, eso es correcto, ya que $f: x \mapsto x^2$ aumenta para $x \gt 0,$

$$x>4 \implies x^2>16>9$$

Lo que no es cierto es que por ejemplo

$$x^2>9 \implies x>3$$

Answer 2

Dejemos que $x \in \Bbb R$ , si $x > 4$ , entonces como $x \mapsto x^2$ está aumentando sobre $\Bbb R_+$ , $x^2 > 16 > 9$ .

Answer 3

Un enfoque alternativo es $x>4>0\implies x^2>4x>4^2=16>9$ .

Answer 4

Esta es otra opinión.

Escriba $x=3+y$ con $y>1$ . Entonces $x^2=(3+y)^2=9+6y+y^2>9$ ya que $y>1>0$ .

Answer 5

Más o menos.

Necesitas algún concepto que $x^2$ es creciente para números positivos por lo que si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ (y así $x >4$ entonces $x^2 > 16 > 9$ ).

Si se está haciendo el cálculo se puede señalar que para $f(x) = x^2$ entonces $f'(x) = 2x$ y si $x > 0$ entonces $f'(x) > 0$ así que $f$ está aumentando en todos los positivos.

O si estás haciendo axiomas de campo ordenados puedes hacerlo mediante el axioma: Si $a < b$ y $c > 0$ entonces $ac < bc$ . Y por lo tanto, si $0 < a < b$ entonces $a\cdot a < b\cdot a$ y $a^2\cdot b < b\cdot b^2$ .

Así que de una forma u otra, sí, puedes decirlo. (Pero debes estar preparado para defenderlo si alguien lo cuestiona).

....

Y hay "trucos".

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ y $x - 3 > 4-3 = 1> 0$ y $x+3 > 4+3 = 7 > 0$ así que $x^2 - 9 > 0$ así que $x^ > 9$ y otras cositas bonitas por el estilo.