Cómo distribuir $x \times \sqrt{x^2 + 1}$

Question

¿Cómo distribuyo la x en este problema?

¿Cómo puedo "acceder", por así decirlo? ¿Se convierte en $x^\frac{1}{2}(x^2 + 1)^\frac{1}{2}$ o $(x^3+x)^\frac{1}{2}$ ?

¿O es que tengo que hacer eso para integrar $\int x(x^2+1)^\frac{1}{2}$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\sqrt{x^2}=|x|.$$

Si $x\ge 0$ entonces $x=|x|=\sqrt{x^2}$ conduce $$x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2(x^2+1)}.$$ Si $x\lt 0$ entonces $x=-|x|=-\sqrt{x^2}$ conduce $$x\sqrt{x^2+1}=-\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^2+1}=-\sqrt{x^2(x^2+1)}.$$

Answer 2

$x\sqrt{x^2+1} = \dfrac{x(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+1}}$

Answer 3

Si $x$ es no negativo (es decir $x\geq 0$ ), entonces $$x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2}\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2(x^2+1)}=\sqrt{x^4+x^2}, $$ si esto es lo que has pedido.

Answer 4

No es necesario expandirse para integrarse. Basta con utilizar un $u$ sustitución con $u = x^2 + 1$ y así $du = 2x \space dx$ y así $dx = \frac{du}{2x}$ y así su integral se convierte en $$\large{\int \color{red}{x}u^\frac{1}{2} \times \frac{du}{2\color{red}{x}}}$$ y así se anula el $x$ para terminar con $$ \large{\int u^\frac{1}{2} du = \frac{u^\frac{3}{2}}{ \frac{3}{2}}} =\frac {2u^\frac{3}{2}}{3}=\frac{2(x^2+1)^\frac{3}{2}}{3} + C$$