Esto es lo que J. Peter May dijo una vez sobre la teoría de las categorías:
El propósito de ser categórico es hacer lo que es formal, formalmente.
y he visto a gente recitándolo. Sin embargo, no estoy muy seguro de entender la sabiduría que hay detrás. Me gustaría que alguien me lo explicara.
Otra variante de esto se debe a Freyd: el propósito de la teoría de las categorías es "mostrar que lo que es trivial es trivialmente trivial". En mi opinión, esto es esencialmente la afirmación de que la teoría de las categorías es una especie de sintaxis lógica para las matemáticas.
Consideremos un fenómeno "formalmente" que surge de la lógica. Supongamos que queremos demostrar que bajo alguna hipótesis $P$ , ya sea $Q$ o $R$ es cierto. Ingenuamente, se podría intentar demostrar esto dividiendo la hipótesis $P$ en casos y mostrando que en cada caso podemos deducir $Q$ o $R$ pero bajo los principios lógicos comúnmente aceptados de las matemáticas, basta con demostrar que bajo la hipótesis $P$ , si $Q$ hace no mantener, entonces $R$ debe ser cierto. Esto es porque la ley del medio excluido nos dice que o bien $Q$ es verdadera o su negación es verdadera: así que no importa qué hipótesis $P$ es, podemos dividir en el caso en que $Q$ es verdadera y el caso en el que $Q$ es falso. Obviamente, en el caso $Q$ es cierto, podemos deducir que o bien $Q$ o $R$ es verdadera, y si somos capaces de dar una prueba de $R$ en el caso $Q$ es falso, entonces también podemos deducir que o bien $Q$ o $R$ es verdadera en ese caso. Dado que podemos deducir $Q$ o $R$ en ambos casos, tenemos la prueba deseada.
¿Por qué lo anterior es "formalmente"? Porque no tiene ningún sentido: $P$ , $Q$ y $R$ son proposiciones arbitrarias, y sin saber cuáles son exactamente, hemos inventado una receta para demostrar $P \to (Q \lor R)$ . En otras palabras, tenemos un argumento que se basa totalmente en formulario en lugar de sustancia .
Del mismo modo, la teoría de las categorías trata de proporcionar un marco general para extraer puntos comunes abstractos entre diferentes contextos matemáticos, de modo que podamos dar sentido a afirmaciones como ésta: "La prueba del lema de la serpiente para los diagramas de gavillas abelianas es la misma que la prueba del lema de la serpiente para los diagramas de $R$ -excepto en todos los casos en los que sustituimos ' $R$ -módulo' por 'gavilla abeliana'". Entonces, ¿cómo podemos precisar esto? En este caso concreto, lo que podríamos hacer es observar que la categoría de $R$ -y la categoría de láminas abelianas son ejemplos de categorías abelianas, y que hay una prueba del lema de la serpiente que funciona en cualquier categoría abeliana. De hecho, el teorema de incrustación de Freyd y Mitchell puede utilizarse para demostrar que el lema de la serpiente para las categorías abelianas se deriva del lema de la serpiente para $R$ -un resultado que no podríamos haber obtenido sin la abstracción que ofrece la noción de categorías abelianas, ya que una gavilla abeliana no es un tipo especial de $R$ -¡Módulo! (Contrasta la afirmación de que "la demostración del lema de la serpiente para grupos abelianos es la misma que la demostración del lema de la serpiente para $R$ -módulos" - en este caso podemos entenderlo fácilmente, porque un grupo abeliano es literalmente lo mismo que un $\mathbb{Z}$ -).
Quizás una forma menos enigmática de decir todo esto es que la teoría de las categorías es el estudio del razonamiento matemático sin elementos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
