¿Cuáles son los criterios de convergencia de una integral?

Question

Sabemos que $$P=\int_{0}^{1}\frac{dx}{x}$$ es Divergente, ya que en $x=0$ el integrando es indefinido.

También $$Q=\int_{0}^{\pi}\lfloor\cot (x)\rfloor d x$$ es divergente según el autor de abajo.

Cómo calcular la integral $ \int_0^\pi \lfloor\cot (x)\rfloor dx $

Mientras que $$R=\int_{0}^{1}\ln x\:dx$$ también es divergente.

Entonces, ¿significa la integral $\int_{a}^{b}f(x)dx$ es divergente si $a$ o $b$ o ambos no en el dominio de $f(x)$ ?

Answer 1

No, en absoluto. Si $f$ es indefinido en $0$ , todavía puede tener sentido hablar de $\int_0^1f(x)\,\mathrm dx$ simplemente es $$\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1f(x)\,\mathrm dx.$$ Por ejemplo \begin{align}\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}&=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}\\&=\lim_{\varepsilon\to0^+}2-2\sqrt\varepsilon\\&=2.\end{align}