Descomposición del valor singular más columnas que filas

Question

Estoy confundido con la descomposición del valor singular de una matriz. Puede que sólo sea un malentendido de lo que hace la descomposición del valor singular, así que, por favor, sé amable conmigo. Si hago una descomposición de valor singular en $X$ con $m$ filas y $n$ columnas de tal manera que obtengo $X=U\Sigma V$ . $V^*$ se supone que es una matriz cuadrada nxn (véase por ejemplo Wikipedia . Sin embargo, para una matriz x por ejemplo de tamaño (40,100) obtengo en Julia (y también en R):

x = randn(40, 100)
xsvd = svdfact(x)
size(xsvd.Vt)
(40,100)

Estoy esperando (100,100). Sin embargo, para

x = randn(100, 40)
xsvd = svdfact(x)
size(xsvd.Vt)
(40,40)

Tengo lo que espero.

¿Puede alguien explicarme qué está pasando aquí? ¿Y posiblemente indicarme algún lugar donde pueda leer los fundamentos?

Answer 1

Si miras $U \Sigma V^{T}$ cuando $m<n$ Verá que el último $n-m$ columnas de $V$ (filas de $V^{T}$ ) se multiplican por 0. Muchos paquetes de software calculan una forma compacta de la SVD en la que no se devuelven estas columnas.

Answer 2

Me encontré con este mismo problema en SciDart ( https://scidart.org/ ) y la respuesta de Brian Borchers me ayudó a encontrar una salida. Pero mi enfoque fue diferente (puedes encontrar mi implementación aquí https://github.com/scidart/scidart/blob/9f5d4e42996b35d32976d571b2acd8804298ed4d/lib/src/numdart/linalg/decompositions/svd.dart#L84 ) y mi implementación se basa en la biblioteca JAMA ( https://math.nist.gov/javanumerics/jama/doc/Jama/SingularValueDecomposition.html ):

1. si $m < n$ , añadir nuevo $n - m$ líneas a su entrada y rellenarla con ceros, obtendrá un $n x n$ matriz cuadrada como entrada;
2. calcular la SVD;
3. si $m < n$ multiplicar cada elemento de $U$ y $V$ por -1;

Donde

• $m$ es el número de filas;
• $n$ es el número de columnas;