Determinar si un par de funciones son linealmente independientes - necesito ayuda

Question

Tengo que determinar si este par de funciones son linealmente independientes. El par de funciones es:

{ $e^{\lambda_1 x}$ , $e^{\lambda_2 x}$ }, $\lambda_1 \neq \lambda_2$

Así que lo he expuesto de la siguiente manera:

$ae^{\lambda_1 x}+be^{\lambda_2 x}=0$ donde $a$ y $b$ son distintos de cero.

Si pongo $x=0$ entonces esto implica $a+b=0$

Entonces, si pongo $x=1$ esto implica $a(e^{\lambda_1 x}-e^{\lambda_2 x})=0$ dado que $a=-b$ de $x=0$ . Ahora no sé a dónde ir desde aquí. ¿Qué muestra esto?

Answer 1

De hecho ya lo has mostrado. Sabemos que $e^{\lambda_1}\neq e^{\lambda_2}$ Así pues, si $a(e^{\lambda_1}-e^{\lambda_2})=0$ , entonces necesariamente $a=0$ . Entonces, como $a+b=0$ debe ser el caso que $b=0$ también.

Answer 2

Dividiendo ambos lados por $(e^{\lambda_1 x}-e^{\lambda_2 x})$ se obtiene $a=0$ Por lo tanto, según la primera ecuación $b=0$ y la fórmula $ae^{\lambda_1 x}+be^{\lambda_2 x}=0$ no tiene solución distinta de cero, por lo que las funciones son independientes.

Answer 3

Su pregunta ha sido contestada, así que aquí tiene una no-respuesta. Supongamos que $ae^{\lambda_1 x}+be^{\lambda_2 x}$ es idéntico $0$ . Usted ha observado que $a+b=0$ .

Diferenciar, y fijar $x=0$ . Obtenemos $\lambda_1 a+\lambda_2 b=0$ . Desde $\lambda_1\ne \lambda_2$ , obtenemos que $a=b=0$ .