Comportamiento asintótico del movimiento browniano

Question

Dejemos que $(B_t)_{t\geq 0}$ sea un movimiento browniano, quiero demostrar que $$\frac{B_t}{t^p} \xrightarrow[t\to\infty]{a.s.} 0, $$ para todos $p>\frac{1}{2}$ .

Me dijeron que usara eso

$$X_t = \frac{B_t^2 - t}{(t+1)^{2p}} \xrightarrow[t\to\infty]{a.s.} 0,$$

que ya he probado, pero no puedo ver cómo $X_t \to 0 \, a.s.$ implica la primera afirmación. ¿Puede alguien darme una pista sobre la relación entre ambas?

Answer 1

Si $p>1/2$ entonces $\frac{t}{(t+1)^{2p}} \to 0$ . Combinado con $X_t \to 0$ Esto implica $X_t + \frac{t}{(t+1)^{2p}} \to 0$ . Pero $$X_t + \frac{t}{(t+1)^{2p}} = \frac{B_t^2}{(t+1)^{2p}} = \left(\frac{B_t}{(t+1)^p}\right)^2 \to 0.$$ De ello se desprende que $$ \frac{B_t}{(t+1)^p} \to 0 $$ y por lo tanto $$ \frac{B_t}{t^p} = \frac{B_t}{(t+1)^p} \frac{(t+1)^p}{t^p} \to 0 \cdot 1 = 0 $$