¿Cuál es la prueba más sencilla y elemental de que un determinado número es trascendental?

Question

Enseño, entre otras muchas cosas, a una clase de maravillosos y curiosos alumnos de 7º curso. Recientemente hemos estado estudiando y discutiendo varios sistemas numéricos (N, Z, Q, R, C, números algebraicos, e incluso cuaterniones y surreales). Una cosa que ha quedado en el aire es dar una prueba de que realmente existen los números trascendentales (y en particular, los reales). Están dispuestos a creer en mi palabra, pero me gustaría demostrarlo si puedo.

He pensado en dos posibles enfoques:

1) Utilizar la diagonalización en una lista de números algebraicos enumerados por sus alturas (de la forma habitual) para construir un número trascendental. Esto me parece factible, y me permitiría compartir algunos datos interesantes sobre la cardinalidad en el camino. El asterisco por ello es que, aunque el argumento es constructivo, no empezamos con un número en la mano y luego probamos que es trascendental--una característica que creo que estaría bien.

2) Utilizar más o menos la prueba original de Liouville, expuesta de la forma más sencilla que puedo. Las ventajas de esta ruta son que empezamos con un número en la mano, es un buen pedazo de historia, y hay algunas cosas interesantes de las fracciones que podríamos hablar (hemos estado discutiendo la repetición de decimales y fracciones continuas). El inconveniente es que no estoy seguro de poder hacerlo accesible a mis alumnos.

Así que aquí es donde entras tú. ¿Existe una prueba sencilla y elemental de que algún número concreto es trascendental? Dos tipos de respuestas que serían útiles serían:

a) señalar algún tipo de argumento diferente que tenga la posibilidad de ser lo suficientemente elemental, y

b) sugerir cómo retocar o llevar a su esencia un argumento tipo Liouville. Mi modelo para esto es la prueba que Conway popularizó del hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional. Puede encontrarlo como prueba 8'' en esta página .

Soy consciente de que la trascendencia es aguas profundas, y desde luego no espero que surja algo fácil, pero he pensado en aprovechar la experiencia y el ingenio de esta comunidad. Gracias por pensar en ello.

Answer 1

Los detalles completos requieren un breve documento en lugar de un largo comentario de MO y Daniel Briggs y yo hemos empezado a discutir la redacción de uno conjuntamente. Pero permíteme abordar algo de lo que preguntas ahora mismo.

Una colección finita de polinomios sólo tiene un número finito de raíces en la recta real. Así que se puede encontrar un intervalo en el real que los evite todos. Fijar el primer dígito del número de Liouville junto con un intervalo mínimo hasta el siguiente dígito hace precisamente eso. Nótese que $1/10$ no puede ser la raíz de un polinomio irreducible de grado superior a $1$ . Ahora aumentas el grado y la altura (máxima magnitud de los coeficientes) que te permiten tus polinomios y esto te da nuevas raíces que evitar, pero todavía puedes encontrar un pequeño intervalo "seguro" dentro del intervalo que tenías antes. Esta es la esencia de la diagonalización. Cada especificación adicional del número mata más polinomios. El problema es que el conjunto de raíces de polinomios de grado y altura acotados parece muy complicado, así que el truco de Liouville toma medidas extremas para evitarlos todos pero sin mucho cálculo (donde Cantor determinaría simplemente un dígito más para evitar la raíz totalmente calculada de un solo polinomio más).

Ahora, por supuesto, tienes razón: cambiar un número trascendental por un racional lo deja trascendental. Eso sólo significa que cada polinomio se mata muchas veces (quién dice que no se puede vencer a un caballo muerto en matemáticas).