¿Cuál es la prueba más sencilla y elemental de que un determinado número es trascendental?

Question

Enseño, entre otras muchas cosas, a una clase de maravillosos y curiosos alumnos de 7º curso. Recientemente hemos estado estudiando y discutiendo varios sistemas numéricos (N, Z, Q, R, C, números algebraicos, e incluso cuaterniones y surreales). Una cosa que ha quedado en el aire es dar una prueba de que realmente existen los números trascendentales (y en particular, los reales). Están dispuestos a creer en mi palabra, pero me gustaría demostrarlo si puedo.

He pensado en dos posibles enfoques:

1) Utilizar la diagonalización en una lista de números algebraicos enumerados por sus alturas (de la forma habitual) para construir un número trascendental. Esto me parece factible, y me permitiría compartir algunos datos interesantes sobre la cardinalidad en el camino. El asterisco por ello es que, aunque el argumento es constructivo, no empezamos con un número en la mano y luego probamos que es trascendental--una característica que creo que estaría bien.

2) Utilizar más o menos la prueba original de Liouville, expuesta de la forma más sencilla que puedo. Las ventajas de esta ruta son que empezamos con un número en la mano, es un buen pedazo de historia, y hay algunas cosas interesantes de las fracciones que podríamos hablar (hemos estado discutiendo la repetición de decimales y fracciones continuas). El inconveniente es que no estoy seguro de poder hacerlo accesible a mis alumnos.

Así que aquí es donde entras tú. ¿Existe una prueba sencilla y elemental de que algún número concreto es trascendental? Dos tipos de respuestas que serían útiles serían:

a) señalar algún tipo de argumento diferente que tenga la posibilidad de ser lo suficientemente elemental, y

b) sugerir cómo retocar o llevar a su esencia un argumento tipo Liouville. Mi modelo para esto es la prueba que Conway popularizó del hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional. Puede encontrarlo como prueba 8'' en esta página .

Soy consciente de que la trascendencia es aguas profundas, y desde luego no espero que surja algo fácil, pero he pensado en aprovechar la experiencia y el ingenio de esta comunidad. Gracias por pensar en ello.

Answer 1

El número de Liouville original es probablemente el más fácil, pero la mayoría de las pruebas tienden a invocar el cálculo (porque ¿por qué no?), así que permítanme tratar de mostrarlo de una manera más amigable para el séptimo grado. Lo llamaré el enfoque de las franjas de cero.

Así que sabemos que el número de Liouville $L$ se ve así: .1100010000000000000000010... con un 1 en el $n!$ lugares.

Cuando lo cuadramos, obtenemos esto: .012100220001000000000000220002...

Lo que ocurre es que en el $2n!$ lugares en los que se obtiene un 1, y en el $p!+q!$ lugares obtenemos un 2. (Lo bueno de esto es que se puede explicar utilizando el algoritmo de la escuela primaria, el que todos conocen, para la multiplicación).

Si multiplicamos $L$ por un número entero y anotar la respuesta, el valor de ese número entero quedará "al descubierto" cuando profundicemos lo suficiente en $L$ 's expansión decimal, ya que eventualmente los 1s están lo suficientemente lejos como para convertirse en ese número entero sin pisarse.

Del mismo modo, si multiplicamos $L^2$ por un número entero, veremos ese número entero en algunos lugares, y 2 veces ese número entero en otros. Para un tamaño suficientemente grande $n,$ si miramos entre el $n!$ lugar y el $(n+1)!$ lugar, lo último que veremos es ese entero escrito en el $2n!$ lugar.

Así, las franjas de cero en el múltiplo de $L$ son, $n!-(n-1)!=(n-1)(n-1)!$ largo (menos una constante), mientras que las franjas más amplias de cero en el múltiplo de $L^2$ son $n!-2(n-1)!=(n-2)(n-1)!$ (menos una constante) largo, que es más corto, por lo que no hay forma de sumar múltiplos positivos de $L$ y $L^2$ juntos para borrar todo lo que hay después del punto decimal, o encontrar múltiplos positivos de cada uno para que todo lo que hay después del punto decimal sea igual.

De manera más general:

Supongamos que $a_jL^j+...$ y $a_kL^k+...$ son polinomios enteros en $L,$ donde $j>k.$ Demostramos que sus valores no pueden coincidir completamente más allá del punto decimal. Las franjas de cero en el primer polinomio, retrocediendo desde el $n!$ punto, son una constante lejos de $(n-j)(n-1)!$ (siendo la constante la longitud de la suma de los coeficientes), mientras que en el segundo están a una constante de $(n-k)(n-1)!$ largo, en el mismo lugar (retrocediendo desde el $n!$ punto).

No sé si esta explicación se ajusta a los estándares de rigor que te gusta mantener cuando les enseñas, pero creo que la encontrarán fascinante.

Answer 2

Sigo queriendo escribirlo bien, pero se puede demostrar la trascendentalidad del número de Liouville de una manera muy, muy elemental.

Escriba $L$ para el número de Liouville. Supongamos que $p(L)=0$ para algún polinomio con número entero con coeficientes enteros. Entonces $p_+(L)=p_-(L)$ donde $p=p_+-p_-$ y los polinomios $p_+$ y $p_-$ sólo tienen coeficientes positivos y no tienen términos del mismo grado. Supongamos WLOG que $p_+$ tiene el grado más alto, digamos, $k$ Así que $p_+(x)=cx^k+\cdots$ . Entonces, al calcular $p_+(L)$ (a través de la ley distributiva) obtendrá contribuciones de $c10^{-kn!}$ para $n=1,2,3\ldots$ . Con $n$ suficientemente grande, nada que surja de $p_-(L)$ puede equilibrar estas contribuciones, por lo que la contradicción.

Así que no hay cálculo. Sólo una pequeña reflexión sobre cómo va la aritmética de la escuela primaria.

Creo que la distinción entre Liouville y Cantor resulta en realidad artificial.

Mi argumento anterior muestra que uno puede ver la construcción de Liouville como una diagonalización contra los polinomios. Cada dígito no nulo "mata" una colección de polinomios de de bajo grado y baja altura hasta que uno los ha matado a todos.

Answer 3

Estoy a favor del enfoque Liouvilliano sobre el enfoque Cantoriano, porque aunque el argumento diagonal te permitirá en principio escribir la expansión decimal de un número trascendental, nunca verás toda la expansión "de una vez" (por así decirlo), y no habrá nada especial en la expansión truncada que veas; será simplemente una expansión decimal al azar, y cualquier expansión decimal finita puede completarse para ser trascendental.

En la aproximación vía Liouville, por supuesto, se llega a ver realmente el número trascendental.
Y el argumento de Liouville no es tan difícil; se reduce al principio de encasillamiento (que, por lo que parece, sus alumnos de 7º grado no tendrán problemas para entender, si es que no lo saben ya).

No conozco una referencia óptima, pero si tuviera que seguir este camino, primero fijaría mi número de Liouville y me centraría en demostrar que ese número concreto es trascendental. (En otras palabras, no demuestre un criterio general y luego compruebe que su número lo satisface; mantenga las cosas más concretas demostrando directamente el criterio para el número de Liouville elegido .) Creo que si haces esto, y simplemente escribes una ecuación polinómica putativa con coeficientes enteros que se supone que satisface tu número de Liouville, no será difícil argumentar hasta llegar a una contradicción. Y como tienes un número concreto, puedes realmente trabajar esto con tu clase, por ejemplo, comenzando con un cuadrático, introduciendo realmente tu número de Liouville, y mirándolo y viendo por qué esto no podría dar cero. Creo que esto haría las cosas bastante intuitivas y concretas.

Añadido: Ver la muy buena respuesta de Daniel Briggs para exactamente este tipo de argumento explícito con un número de Liouville concreto.

Answer 4

El número de Liouville es sin duda el primer ejemplo concreto que hay que mencionar (también es, no por casualidad, el primero históricamente). Me encanta la forma en que se puede demostrar la trascendencia mediante operaciones elementales, como muestran aquí David Feldman y Daniel Briggs. No sé cuánto tiempo le dedicarán a este fascinante tema, pero yo no omitiría mencionar el origen, la cuadratura del círculo El problema más famoso de la antigüedad, y posiblemente el que más tiempo ha permanecido abierto en toda la historia de las matemáticas. Una pequeña perspectiva histórica hace justicia al ejemplo de Liouville (1851), ya que entonces aparece no sólo como una curiosidad matemática, sino como un primer paso hacia una posible demostración de la trascendencia de otras constantes importantes. En cierto sentido, el número de Liouville es trascendental porque tiene una aproximación racional demasiado rápida. Así que también ilustra una especie de carácter paradójico de los números trascendentales: los números racionales parecen estar "más cerca" de los números trascendentales que de los números algebraicos no racionales. En efecto, el primer caso de un conocido constante probada como trascendental fue e (Hermite, 1873), explotando la muy buena aproximación racional dada por la serie exponencial (dependiendo del tiempo, se puede considerar incluir en el curso también la versión más simple de Hilbert de la prueba que sólo requiere un cálculo elemental): y el caso de e fue sin duda un punto de partida para el trabajo de Lindemann para la trascendencia más difícil de $\pi$ (1882).

Answer 5

¿Qué tal si Constante de Chaitin $\Omega$ (para alguna codificación fija)? La prueba de la trascendencia es factible, y es en cierto modo un compromiso entre los dos enfoques, con el inconveniente de que para cualquier codificación dada, obviamente no se puede escribir realmente la constante más allá de los primeros dígitos, aunque la prueba es en cierto sentido "constructiva".

Por supuesto, esto es básicamente una diagonalización (oculta en la prueba de la insolubilidad del Problema de Halting), pero creo que podría ser más fácil para un estudiante de séptimo grado conseguir los primeros dígitos de la constante que en tu opción (1).

Además, el lenguaje de la computabilidad es maravilloso, y creo que fácilmente comprensible para los alumnos de secundaria.