$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}$ ¿también es convergente?

Question

Que la secuencia $a_{n}>0$ , $n\in N^{+}$ y tal $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_{n}}$ convergente. Demuestre que $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{a^2_{1}+a^2_{2}+\cdots+a^2_{n}}$$ ¿también es convergente?

Jack Un resultado relacionado: tal vez supongo que esto también se sostiene? $$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{a^2_{1}+\cdots+a^2_{k}}\le\left(\dfrac{1}{a_{1}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right)^2$$

Answer 1

La desigualdad de Polya-Knopp (que es una instancia de la desigualdad de Hardy para exponentes negativos) establece que para cualquier $p\geq 1$ y para cada secuencia positiva $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ que tenemos:

$$ \frac{N^{\frac{p+1}{p}}}{(p+1)\left(a_1^p+\ldots+a_N^p\right)^{1/p}}+\sum_{n=1}^N \left(\frac{n}{a_1^p+\ldots+a_n^p}\right)^{1/p} \leq (1+p)^{\frac{1}{p}}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_n},\tag{1}$$ por lo tanto, tomando $p=2$ se deduce que:

$$ \sum_{n= 1}^{N}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}}\leq \sqrt{3}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_n}\tag{2} $$

Ahora reescribimos el LHS de $(2)$ por suma parcial.

Dejemos que $Q_n^2\triangleq a_1^2+\ldots+a_n^2$ et $h(n)\triangleq\sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}$ :

$$\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{n}}{Q_n}=\frac{h(N)}{Q_N}-\sum_{n=1}^{N-1}h(n)\left(\frac{1}{Q_{n+1}}-\frac{1}{Q_n}\right)=\frac{h(N)}{Q_N}+\sum_{n=1}^{N-1}h(n)\frac{a_{n+1}^2}{Q_n Q_{n+1}(Q_{n+1}+Q_n)} $$ desde $h(n)\geq\frac{2}{3}n^{3/2}$ se deduce que:

$$ \frac{2N\sqrt{N}}{Q_N}+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{n^{3/2} a_{n+1}^2}{Q_{n+1}^3}\leq 3\sqrt{3}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_n}.\tag{3}$$ Si dejamos que $g(n)=\sum_{k=1}^{n}k^2$ y aplicar la suma parcial a la serie original obtenemos:

$$ \sum_{n=1}^{N}\frac{n^2}{Q_n^2}=\frac{g(N)}{Q_N^2}+\sum_{n=1}^{N-1}g(n)\frac{a_{n+1}^2}{Q_n^2 Q_{n+1}^2}\tag{4}$$ por lo tanto, por $(3)$ sólo tenemos que demostrar que $\frac{g(n)}{Q_n Q_{n+1}}$ está acotado por alguna constante de tiempo $\frac{h(n)}{Q_n+Q_{n+1}}$ o:

$$ g(n)\left(Q_n+ Q_{n+1}\right) \leq K \cdot h(n) Q_n Q_{n+1} $$ o: $$ \frac{1}{Q_n}+\frac{1}{Q_{n+1}}\leq K\cdot\frac{h(n)}{g(n)} \tag{5}$$ que se desprende del hecho de que $\frac{\sqrt{n}}{Q_n}$ es sumable por $(2)$ .

Edit : Un atajo masivo. Si una secuencia positiva $\{b_n\}$ es tal que $\sum {b_n}$ es convergente, entonces $\sum n b_n^2 $ también es convergente, ya que $\{n b_n\}$ debe estar acotado para que $\sum b_n$ converge. Así que podemos utilizar este lema y $(2)$ para demostrar nuestra afirmación.