Dinámica de una moneda en rotación

Question

A veces, cuando me aburro en una sala de espera, saco una moneda del bolsillo y la hago girar sobre la mesa. Nunca traté de averiguar qué pasaba. Pero, recientemente me pregunté sobre dos cosas:

1. ¿Puedo determinar la velocidad de rotación crítica que determina el instante en que se produce el desplazamiento vertical? (Según la aclaración de Floris, "desplazamiento vertical" podría entenderse como "inclinación").
2. Suponiendo que se conozca el impulso de rotación inicial, ¿puedo predecir el lugar exacto donde cae la moneda?

Más precisamente :

Suponemos que una moneda de dimensiones $R=\text{radius and } h=\text{height}$ donde $R >> h$ se encuentra inicialmente sobre una superficie plana antes de recibir un impluso de rotación en un plano paralelo a la superficie. Además, suponemos que la moneda tiene una masa $M$ con una distribución uniforme de la masa y que la resistencia del aire es mucho más importante que la fricción cinética debida a la superficie sobre la que gira la moneda.

Empíricamente, he observado que hay dos regímenes:

1. Contacto de deslizamiento con la superficie plana, mientras que la velocidad de rotación $||\dot{\theta}||\geq c$ donde $c$ es una constante que se puede determinar.
2. Contacto rodante sin deslizamiento, cuando $||\dot{\theta}|| < c$

Esto es lo que he intentado hasta ahora:

1. Suponiendo velocidades de rotación pequeñas, lo cual es razonable, la resistencia es proporcional a la primera potencia de la velocidad de rotación:

\begin{equation} F_D = C_d \dot{\theta} \frac{4 \pi}{3 \pi} \tag{1} \end{equation}

donde $C_d$ es el coeficiente de resistencia y $\frac{4 \pi}{3 \pi}$ es la distancia del centroide de la mitad semicircular de la moneda al centro de gravedad de la misma. Ahora el trabajo realizado por la $F_D$ es proporcional a la distancia recorrida por el centroide en ambas mitades de la moneda, por lo que la energía total disipada en el tiempo $t$ está dada por:

\begin{equation} \Delta E(\theta, \dot{\theta},t) = 2 \int_{0}^{t} F_D \theta \frac{4 \pi}{3 \pi}= 2 C_d \big(\frac{4 \pi}{3 \pi}\big)^2 \int_{0}^{t} \dot{\theta} \theta dt= C_d \big(\frac{4 \pi}{3 \pi}\big)^2 {\theta (t)}^2\tag{2} \end{equation}

Así que la energía disipada es sólo una función explícita del ángulo $\theta$ :

\begin{equation} \Delta E(\theta) = C_d \big(\frac{4 \pi}{3 \pi}\big)^2 {\theta (t)}^2\tag{3} \end{equation}

Así que el Hamiltoniano viene dado por:

\begin{equation} H(\theta, \dot{\theta}) = \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2+mg\frac{h}{2}-\Delta E(\theta) \tag{4} \end{equation}

Las ecuaciones de movimiento vienen dadas entonces por:

\begin{equation} \begin{cases} \dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial \dot{\theta}} = I \dot{\theta} \\ \dot{P}=-\frac{\partial H}{\partial \theta} = 2 C_d(\frac{4R}{3 \pi})^2 \theta(t) \end{cases} |5} \N - fin{{ de la ecuación}

2. No me queda claro cómo debo interpretar las ecuaciones del movimiento, pero mi corazonada es que la primera fase ha terminado cuando la energía cinética desaparece. Esto ocurre cuando la energía disipada es igual a la energía cinética:

\begin{equation} \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2=C_d \big(\frac{4 \pi}{3 \pi}\big)^2 {\theta (t)}^2 \tag{6} \end{equation}

Si dejamos que $C_1 = \frac{I}{2}$ y $C_2 = C_d \big(\frac{4 \pi}{3 \pi}\big)^2$ las soluciones que he encontrado son de la forma

\begin{equation} \frac{\dot{\theta}}{\theta} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}} \tag{7} \end{equation}

Pero, esto es problemático ya que la solución se supone que es una única $\theta$ . Sin embargo, supongo que esta dificultad puede resolverse y creo que puede deberse a un problema anterior.

Ahora queda por explicar por qué la moneda entra en una segunda fase y empieza a rodar sin resbalar en lugar de simplemente detenerse por completo. Mi argumento es que, en la práctica, la superficie sobre la que gira la moneda nunca es completamente plana, y el impulso rotacional inicial nunca es completamente plano.

3. En la segunda fase, suponiendo que no hay fuerzas disipativas la energía total viene dada por:

\begin{equation} E = MgR\sin(\alpha) + \frac{1}{2}I \Omega^2 \sin^2(\alpha) \tag{8} \end{equation}

donde $\alpha$ es el ángulo de inclinación con respecto a la vertical y $\Omega$ es la tasa de precesión. Puedo ir más allá, pero el análisis se complica mucho debido al papel de la resistencia del aire.

Esto me lleva a dos preguntas:

1. $\theta$ es monótonamente creciente en función del tiempo por lo que no deberíamos encontrar un único $\theta$ que determina el instante en que se produce el desplazamiento vertical? (Nota: el método que utilizo es equiparar la energía cinética y la energía disipada)

2. Más allá de las condiciones experimentales imperfectas, ¿se puede explicar la segunda fase por el principio de la energía potencial mínima? (es decir, hay una razón teórica para que la moneda no se quede simplemente parada)

   Referencias :

3. http://puhep1.princeton.edu/~kirkmcd/examples/rollingdisk.pdf

4. http://www.eulersdisk.com/PRE56610.pdf

Answer 1

Ambas preguntas tienen respuesta en el marco del análisis exhaustivo de referencia 3 pero aquí está la respuesta resumida:

1. No, no hay un "instante" único y preciso en el que la moneda pase de vertical a inclinada. Sin embargo, si por vertical se entiende oscilar alrededor de un equilibrio vertical estable, entonces existe una velocidad angular umbral (véase la ecuación 65 en referencia 3 para el caso sin fricción) por encima del cual una pequeña oscilación es estable y por debajo del cual no lo es. En la práctica, la moneda cambiará visiblemente de comportamiento cerca de esta velocidad de rotación, pero el instante preciso está determinado por la minucia de las pequeñas oscilaciones en torno a un giro perfectamente vertical.

2. En cierto sentido, la segunda fase se debe a las condiciones imperfectas, como se puede ilustrar utilizando una moneda extranjera con un borde cuadrado grueso y terminando con una moneda estacionaria en el borde, exactamente donde estaba girando. Sin embargo, hay una gran cantidad de principios y orden que describen el proceso por el cual una pequeña desviación de la vertical crece hasta convertirse en el rollo en espiral que se ve como fase dos. Las ecuaciones que lo describen se encuentran en referencia 3 pero son fundamentalmente similares a las que describen un precesión de la parte superior -- un punto de partida más fácil para entender los tensores de inercia que la moneda que gira, que además ya está convenientemente explicada paso a paso en cientos de lugares de Internet.