Sólo en términos históricos, "la lógica de primer orden procede de la aritmética de Peano" no es correcto. En realidad, ambas ideas, la de extender el razonamiento axiomático más allá de la geometría (euclidiana) hacia el álgebra y la aritmética, y la de formalizar la lógica para expresar más de lo que podían los silogismos aristotélicos, iban de la mano.
El progreso de la lógica más allá del manejo de los cuantificadores en el silogismo fue gradual a lo largo del siglo XIX. Entre los nombres más importantes figuran Augustus de Morgan y JS Mill. Gottlob Frege resolvió esencialmente el problema en 1879 introduciendo los cuantificadores de primer orden $\forall, \exists$ y, por tanto, la codificación de la lógica con la sintaxis que todavía se utiliza hoy en día.
Mientras tanto, matemáticos como De Morgan, Grassmann y Peirce habían formalizado la teoría de la aritmética. La sintaxis de Frege fue obviamente útil para poner frases como la de Bolzano $\epsilon$ - $\delta$ definición de continuidad en una forma precisa, e igualmente para las leyes de la aritmética. Peirce publicó un conjunto de axiomas en 1881 .
Pero la parte importante del proyecto era ir más allá del razonamiento "deductivo" de los silogismos para llegar a todas las reglas "inductivas" que los matemáticos utilizan en las pruebas naturales. Éstas requieren escribir, no sólo enunciados verdaderos de primer orden sobre los números (etc.), sino razonamientos sobre conjuntos de números. Frege (y otros filósofos, desde hace mucho tiempo) llamó a tal colección el extensión de un concepto . La extensión de un predicado matemático $P(x)$ es sólo $\{x: P(x)\}$ la colección de todo lo que $P$ es verdadera. En particular, con la nueva notación lógica de Frege, cualquier fórmula de primer orden $\phi(x)$ en la notación es un concepto, por lo que $\{x: \phi(x)\}$ debe ser una extensión. Frege también introdujo la notación $x \in A$ para significar " $x$ satisface el concepto que define $A$ ".
Obviamente, estas extensiones son ahora reconocibles como (ingenuas) establece . (No recuerdo de memoria cuándo se introdujo esta palabra). Dedekind en 1888 y luego, de forma más ordenada, Peano en 1889 dio axiomas para la aritmética incluyendo el razonamiento con estos conjuntos. El punto de Peano es que todo el uso que hay que hacer de los conjuntos en aritmética viene en la conocida regla de inducción aritmética que (como es obvio desde hace tiempo) no puede expresarse en silogismos. "Si la extensión de cualquier predicado incluye 0, e incluye $x+1$ siempre que incluya $x$ entonces incluye todos los números"-Peano pensaba ciertamente en términos de lógica fregeana completa.
Entonces en 1901 Bertrand Russell demostró, en una carta a Frege, su paradoja del conjunto $\{x: x \not \in x\}$ . Esto horrorizó a Frege, a Dedekind y a todos los demás implicados en el proyecto de formalización de las matemáticas: demostró que algunas de las fórmulas expresables en la sintaxis de Frege no son consistentes conceptos . O posiblemente demostró que todo el formalismo era erróneo; pero obviamente era demasiado útil para las matemáticas reales como para desecharlo por completo.
Así que Russell, Zermelo, y todos los demás, se esforzaron mucho por salvar la lógica fregeana de la paradoja. La causa obvia del problema con $\{x: x \not \in x\}$ es que es autorreferencial (como la antigua paradoja del mentiroso), y la forma natural de evitar la autorreferencia es estratificar el razonamiento. Filosóficamente el conjunto paradójico es no distinguir entre un objeto y un predicado. La solución de Russell fue, de arriba abajo, imponer una estructura bizantina de órdenes y grados a los conjuntos y cuantificadores, para garantizar que los objetos y los predicados nunca entraran en conflicto. A partir de ahí, el lenguaje de de primer orden y de segundo orden surgió la lógica.
La desventaja de esto es que obviamente se puede hacer un razonamiento de primer orden sobre conjuntos (bien comportados) en sí mismos -Leyes de Morgan, por ejemplo- y por lo tanto se necesita replicar toda la lógica de primer orden en el caso de segundo orden, y así sucesivamente para una jerarquía de pruebas idénticas con diferentes subíndices. El símbolo $\in$ se vuelve muy difícil de trabajar.
Zermelo introdujo una construcción ascendente para los conjuntos de buen comportamiento que podría garantizarse que no necesitan la estructura de Russell, para dejar que $\in$ ser una relación matemática ordinaria, y aún así evitar la paradoja.
Afortunadamente, los axiomas de Peano pueden funcionar en cualquier contexto. No es necesario el comportamiento autorreferencial completo de $\in$ para hablar de aritmética, por lo que las fórmulas de "segundo orden" en el sentido de Russell son adecuadas. En la teoría de conjuntos de Zermelo se puede construir un conjunto que satisfaga el axioma de segundo orden de Peano siempre que el predicado para inducir sobre sea expresable como un conjunto, por lo que (en relación con la teoría de conjuntos) la aritmética de Peano también funciona aquí.
Gran parte del trabajo sobre los conjuntos de Zermelo fue realizado, en la década de 1920, por Skolem; refinó los axiomas de Zermelo, distinguiendo especialmente el axioma de elección. Mientras tanto, se había desarrollado toda una escuela de "Lógica Intuicionista", para tratar de encapsular con mayor precisión el razonamiento de los matemáticos realmente necesidad, en lugar de intentar remar hacia atrás desde el excesivo e inconsistente sistema fregeano, en el que la aritmética de Peano parece funcionar pero sólo al azar. Esto no tuvo éxito en sus propios términos (aunque ha demostrado ser útil en otros contextos, la teoría de las categorías, etc.). La aritmética recursiva primitiva fue la formulación de Skolem de una parte intuitivamente válida de toda la aritmética. No consiguió suplantar el razonamiento completo de Peano, pero es realmente interesante por derecho propio.
Finalmente en 1931 Gödel publicó su primer Teorema de Incompletitud, mostrando que el razonamiento de Peano de segundo orden, o igualmente la aritmética en el universo de Zermelo, no podían demostrarse consistentes. En ese momento, los matemáticos suspiraron de alivio y dejaron de preocuparse de que se pudiera demostrar en consistente. Y ahí termina la historia.
(Todas las fechas están sacadas de Wikipedia).
