Encontré esta "prueba" visual de $\oint zdz = 0$ y $\oint dz/z = 2\pi i$ bastante convincente y primero quiero compartirlo con ustedes. Pero yo también tengo una pregunta real, que plantearé al final de este post, así que estad atentos.
Considere el círculo unitario $C_1$ en $\mathbb{C}$ con $n$ números igualmente distribuidos $z_k = e^{i2\pi k/n}$ . Extraer de cada $z_k$ una flecha hacia $z_k + f(z_k)$ para $f(z) = z$ resp. $f(z) = 1/z$ . Para hacer la conexión entre $z$ y $1/z$ más comprensible trazo los gráficos $f_p(z) = pz + (1-p)/z$ para algunos valores de $0 \leq p \leq 1$ . Tenga en cuenta que $f_1(z) = z$ y $f_0(z) = 1/z$ .
[haga clic en la imagen para ampliarla]
Tenga en cuenta que estas parcelas son esencialmente parcelas de arroyo a) restringido al círculo unitario y b) mostrando no sólo la dirección del campo vectorial sino también su magnitud.
Tenga en cuenta que por $f_p(-z) = -f_p(z)$ tenemos $\sum_{k=0}^{n-1}f_p(z_k) = 0$ para todos $p$ que se puede ver más fácilmente al dibujar $f_p(z)$ desde el origen:
Observe la diferencia de color entre <span class="math-container">$f_1(z) = z$</span> y <span class="math-container">$f_0(z) = 1/z$</span> que se debe a diferentes fases <span class="math-container">$\varphi = 2\pi k/n$</span> de los argumentos.
Ahora consideremos el factor $d_nz$ que es la secante (para $n\rightarrow \infty$ la tangente) del círculo en el punto $z$ . Multiplicando $f(z)$ por $d_nz$ se encoge y gira $f(z)$ . Porque $|d_nz|\rightarrow 0$ para $n\rightarrow\infty$ Tendríamos $|f(z)d_nz| \rightarrow 0$ también, así que para mantener el vector $f(z)d_nz$ visible, normalizamos $d_nz$ mediante la división por $|d_nz| = 2\pi/n$ . Por lo tanto, sólo la rotación de $f(z)$ está en el punto de mira:
Ahora ya hemos terminado: Para $f(z) = f_1(z) = z$ los vectores $f(z_k)dz$ siguen sumando $0$ mientras que para $f(z) = f_0(z) = 1/z$ tenemos $n$ vectores de longitud $1$ todos apuntando a la misma dirección (hacia arriba), por lo que la suma es sólo $n\cdot i$ . Multiplicando por el factor de normalización $2\pi/n$ obtenemos el resultado deseado:
$$\sum_{k=0}^{n-1}f_0(z_k)d_nz = 2\pi i$$
que es válida para cualquier $n$ .
Puesto algebraicamente, se encuentra con $\zeta_k = e^{i2\pi k/n}$ el $n$ -Raíces de la unidad, $d_k = \zeta_k e^{i\pi / 2}$ y $1/\zeta_k = \overline{\zeta_k}$ :
$$\sum_{k=0}^{n-1}\zeta_k d_k = \sum_{k=0}^{n-1}\zeta_k^2 e^{i\pi / 2} = i \sum_{k=0}^{n-1}\zeta_k^2 = i \sum_{k=0}^{n-1}\zeta_k = 0$$
$$\sum_{k=0}^{n-1}\overline{\zeta_k} d_k = \sum_{k=0}^{n-1}\overline{\zeta_k}\zeta_k e^{i\pi / 2} = i \sum_{k=0}^{n-1}1 = i \cdot n$$
De nuevo, para ver esto más claramente, podemos dibujar $f(z)d_nz$ desde el origen:
Tenga en cuenta que el punto único para <span class="math-container">$p=0$</span> es decir <span class="math-container">$f_0(z) = 1/z$</span> , representa de hecho <span class="math-container">$n$</span> puntos, todos en la misma posición.
La prueba esbozada aquí era en cierto modo "sintética" o geométrica. Es interesante compararla con la prueba analítica:
$$\oint_{C_1} dz/z = \int _0 ^{2 \pi} \dfrac{i e^{i z}}{e^{i z}} dz = \int _0 ^{2 \pi}i dz = 2 \pi i $$
y la prueba de Teorema del residuo de Cauchy
$$\oint_{C_1} dz/z = 2\pi i \operatorname{I}(C_1,0)\operatorname{Res}(1/z,0)= 2 \pi i$$
con $\operatorname{I}(C_1,0) = 1$ el número de bobinado de $C_1$ alrededor de $0$ y $\operatorname{Res}(1/z,0) = 1$ el residuo de $f(z)=1/z$ en $0$ .
Lo que yo no ver en las imágenes anteriores es, qué tiene que ver el valor de la integral con la existencia de un polo en $0$ Así que mi pregunta es:
¿Por qué tipo de "interacción de largo alcance" la singularidad en $0$ "forzar" los vectores $dz/z$ para girar exactamente como que lo hacen, sumando $2\pi i$ ?
Anexo 2
Dirk pidió fotos para $f(z) = 1/z^2$ . Aquí están para $z \rightarrow z + f(z)$ , $z \rightarrow z + f(z)d_nz$ , , $0 \rightarrow f(z)d_nz$ :
A modo de comparación, aquí están los gráficos de $f(z) = z^k$ , $k = 1,2,3,4$ (filas superiores) y $f(z) = 1/z^k$ (filas inferiores):
Obsérvese el carácter especial de la parcela inferior izquierda de la segunda imagen, que es la que se refiere al residuo de $z^{-1}$ en $z=0$ ser $1$ . Todos los demás residuos de $z^{\pm k}$ en $z=0$ son $0$ .
Obsérvese también cómo la derivación actúa como rotación.
Anexo 1
A modo de comparación: La misma prueba visual funciona -aunque no sea tan fácil de ver a simple vista- para otras curvas cerradas, por ejemplo, una cardioide $\gamma$ . En la primera tabla verá $z \rightarrow z + f(z)$ , en el segundo $z \rightarrow z + f(z)d_nz$ en la tercera $0 \rightarrow f(z)d_nz$ . Con un poco de experiencia "verás" que $\oint_\gamma zdz = 0$ y $\oint_\gamma dz/z = 2\pi i$
Y aquí para la curva del diamante: las tablas de $z \rightarrow z + f(z)$ , $z \rightarrow z + f(z)d_nz$ y $0 \rightarrow f(z)d_nz$
La rotación de $f(z)$ inducido por la multiplicación por $dz$ puede verse como un "proceso" en stop motion:
Obsérvese que en estos dos casos -basados en el círculo- <span class="math-container">$f(0)$</span> es girado por <span class="math-container">$\pi/2$</span> , <span class="math-container">$f(e^{i\pi/2})$</span> por <span class="math-container">$\pi$</span> , <span class="math-container">$f(e^{i\pi})$</span> por <span class="math-container">$-\pi/2$</span> y <span class="math-container">$f(e^{i3\pi/2})$</span> por <span class="math-container">$0$</span> .
