Tamaño del grupo más pequeño que no satisface una identidad.

Question

Dado $F = F(x_0,\ldots,x_n)$ el grupo libre en $n+1$ generadores. Definir una función $M: F\rightarrow \mathbb{N}$ tal que $F(w) = l$ si el grupo más pequeño en el que $w$ no es una identidad es de tamaño $l$ .

Mi pregunta es cuál es la función $M$ parece. ¿Hay buenos límites?

He aquí algunas observaciones que se desprenden de anteriores debates que he mantenido sobre esta cuestión.

0)si hay un subconjunto de los generadores que aparecen en $w$ donde la suma de los exponentes es distinta de cero, entonces se puede utilizar como ejemplo un grupo cíclico donde el orden del grupo no divide esta suma de exponentes.

1) un límite superior de $F(w)$ es $|w|!$ se puede construir a mano un grupo de permutación en el que no se cumpla la identidad. (el hecho de que $M$ está bien definido es equivalente a la finitud residual del grupo libre)

2) la función $M$ es ilimitado: todo grupo finito $G$ en $n+1$ generadores corresponde a un subgrupo de índice finito de $F$ (un grupo $W\subseteq F$ para lo cual $G = F/W$ para cada $G$ hay un número finito de tales $W$ ), y la intersección de tantos subgrupos de índice finito sigue siendo de índice finito. Por tanto, tomemos todos los grupos de tamaño inferior a $k$ cada palabra en la intersección de sus correspondientes subgrupos de índice finito requiere un grupo de tamaño superior a $k$ para no estar satisfecho.

Answer 1

Para hacer la pregunta un poco menos abierta, pero conservando (espero) su espíritu, permítanme interpretar la pregunta como si se pidiera la tasa de crecimiento de la función $\mu(k)$ definido como el máximo de $M(w)$ sobre todas las palabras no triviales $w$ de longitud hasta $k$ en cualquier número de símbolos, donde longitud es el número de símbolos y sus inversos multiplicados en $w$ . (Por ejemplo, $x^5 y^{-3}$ tiene una longitud $8$ .) George Lowther observó que $M(x^{n!})>n$ Así que $\mu(n!)>n$ . Se puede sustituir $n!$ por $\operatorname{LCM}(1,2,\ldots,n)$ que es $e^{(1+o(1))n}$ , por lo que esto da $\mu(k) > (1-o(1)) \log k$ como $k \to \infty$ .

Voy a mejorar esto mostrando que $\mu(k)$ es al menos del orden $k^{1/4}$ .

Dejemos que $C_2(x,y):=[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ . Si $C_N$ ha sido definida, defina $$C_{2N}(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_N):=[C_N(x_1,\ldots,x_N),C_N(y_1,\ldots,y_N)].$$ Por inducción, si $N$ es una potencia de $2$ entonces $C_N$ es una palabra de longitud $N^2$ que se evalúa como $1$ siempre que alguno de sus argumentos sea $1$ .

Dado $m \ge 1$ , dejemos que $N$ sea la menor potencia de $2$ tal que $N \ge 2 \binom{m}{2}$ . Construir $w$ aplicando $C_N$ a una secuencia de argumentos que incluye $x_i x_j^{-1}$ para $1 \le i < j \le m$ y los interdeterminados extra distintos insertados para que no haya dos de los $x_i x_j^{-1}$ son argumentos adyacentes de $C_N$ . Las indeterminaciones adicionales garantizan que $w$ no es la palabra trivial. Si $w$ se evalúa en elementos de un grupo de tamaño inferior a $m$ entonces por el principio de encasillamiento dos de los $x_i$ tienen el mismo valor, por lo que algunos $x_i x_j^{-1}$ es $1$ Así que $w$ evalúa a $1$ . Así, $M(w)>m$ . La longitud de $w$ es como máximo $2N^2$ que es de orden $m^4$ . Así, $\mu(k)$ es al menos del orden $k^{1/4}$ .

Tengo la sensación de que esto no es lo mejor posible $\ldots$

Answer 2

La versión asintótica de esta cuestión planteada por Bjorn Poonen ha sido estudiada por Khalid Bou-Rabee para grupos generales, no sólo para grupos libres. Es decir, dado G un grupo residualmente finito, para cada g podemos preguntar: ¿cómo de grande es el menor grupo finito F que detecta g, es decir, existe f: G -> F de modo que f(g) es no trivial? Ahora fijemos una métrica de palabras en G, y preguntemos cómo crece el máximo de este "número de detección" al considerar palabras de longitud como máximo n.

Ver " Cuantificación de la finitud residual " y " Crecimiento asintótico y mínimos comunes múltiplos en grupos "(con Ben McReynolds) para sus resultados. Por ejemplo, mientras G sea lineal, la función de crecimiento es polilógica, es decir, asintóticamente menor que (log n) k para algún k, si y sólo si G es virtualmente nilpotente.

Para responder a su pregunta, considerando los cocientes de congruencia de SL ₂ Z, Bou-Rabee concluye que para toda palabra de longitud n en el grupo libre F ₂ existe un grupo finito de orden O(n 3 ) donde la palabra no es una identidad. La misma cota puede obtenerse de manera uniforme como sigue. Ury Hadad da una cota inferior en " Sobre la identidad más corta en grupos simples finitos de tipo Lie "lo que implica que la identidad más corta en PSL ₂ (F _q ) tiene una longitud de al menos (q-1)/3. Dado que el tamaño de PSL ₂ (F _q ) es de orden q 3 esto implica que toda palabra de longitud como máximo n no es una identidad en un solo grupo PSL ₂ (F _q ) de orden O(n 3 ¡)!

Aprendí este argumento en el documento de Martin Kassabov y Francesco Matucci " Limitación de la finitud residual de los grupos libres ". En él, utilizan un bonito análisis de grupos finitos con elementos de "gran orden" para construir una palabra de longitud n en el grupo libre F ₂ que es trivial en todo grupo finito de orden como máximo O(n 2/3 ). Esto mejoró el límite inferior de n 1/3 debido a Bou-Rabee y McReynolds; creo que este es ahora el mejor límite inferior conocido.